Solutions
II.5.24. On a
π
−π
(f (x) − s n (x))
2 dx =
π
−π
f
2 (x) dx − π
1
2
a
2
0 +
+∞
k=1
a
2
k + b
2
k
,
car
π
−π
f (x)s n (x) dx =
π
−π
(s n (x))
2 dx = π
1
2
a
2
0 +
+∞
k=1
a
2
k + b
2
k
.
Puisque
π
−π (f (x) − s n (x))
2 dx 0, la série
1
2 a 2
0 +
+∞
k=1
a 2
k + b 2
k
converge et
sa somme est inférieure à
1
π
π
−π f 2 (x) dx.
II.5.25. La solution du problème précédent implique qu’il existe une
constante strictement positive C telle que
π
−π (f (x) − s n (x))
2 dx C. D’après
l’inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout ensemble mesurable B ⊂ [−π , π],
on a
B
(f (x) − s n (x)) dx
√
C
m(B).
(∗)
On peut, sans perte de généralité, supposer que A ⊂ ]−π , π[. Étant donné
ε > 0, il existe un ouvert G tel que ]−π , π[ ⊃ G ⊃ A et m(G \ A) < ε.
De plus, G est l’union dénombrable d’intervalles ouverts deux à deux disjoints
]a i , b i [. On a
A
(f (x) − s n (x)) dx =
G
(f (x) − s n (x)) dx −
G\A
(f (x) − s n (x)) dx.
De plus, il existe un entier strictement positif N tel que
m
G \
N
n=1
]a n , b n [
< ε.
Si on pose G N =
N
n=1
]a n , b n [, on a
G
(f (x) − s n (x)) dx =
G N
(f (x) − s n (x)) dx +
G\G N
(f (x) − s n (x)) dx.
On déduit alors de (∗) que
A
(f (x) − s n (x)) dx
G N
(f (x) − s n (x)) dx
+ 2
√
εC.
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