Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
on obtient a n = −
1
n . On peut obtenir l’autre formule par un raisonnement
semblable.
II.5.22. Par périodicité, f est intégrable sur [0 , 2π]. La fonction F définie
par F (x) =
x
0
f (t) −
1
2 a 0
dt est donc à variation bornée sur [0 , 2π]. De plus,
F (0) = F (2π) = 0 et F est 2π-périodique. D’après le test de Dirichlet-Jordan
(voir II.5.10),
F (x) =
1
2
A 0 +
+∞
n=1
(A n cos nx + B n sin nx)
où, pour n ∈ N ∗ ,
A n =
1
π
π
−π
F (x) cos nx dx =
−1
nπ
π
−π
f (x) −
1
2
a 0
sin nx dx =
−b n
n
et
B n =
1
π
π
−π
F (x) sin nx dx =
1
nπ
π
−π
f (x) −
1
2
a 0
cos nx dx =
a n
n
.
En conséquence,
F (x) =
1
2
A 0 +
+∞
n=1
a n sin nx − b n cos nx
n
.
En prenant x = 0, on obtient
1
2
A 0 =
+∞
n=1
b n
n
,
(∗)
ce qui implique la formule demandée.
II.5.23. La convergence de la série
+∞
n=1
bn
n se déduit immédiatement de (∗)
dans la solution du problème précédent. On remarque aussi que la série
+∞
n=2
sin nx
ln n converge d’après le test de Dirichlet (voir, par exemple, III.2.13
(vol. II)), mais qu’elle n’est la série de Fourier d’aucune fonction intégrable
car la série
+∞
n=2
1
n ln n diverge.
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