Solutions
I.6.16. Soit c ∈ [a , b] tel que f (c) = max
x∈[a,b]
f (x). On a alors, par hypothèse,
b
a
f (x) dx =
c
a
f (x) dx +
b
c
f (x) dx
= (c − a)
1
0
f ((1 − x)a + xc) dx
+ (b − c)
1
0
f ((1 − x)c + xb) dx
> (c − a)
1
0
((1 − x)f (a) + xf (c)) dx
+ (b − c)
1
0
((1 − x)f (c) + xf (b)) dx
= (c − a)
f (a) + f (c)
2
+ (b − a)
f (b) + f (c)
2
>
1
2
(b − a)f (c).
I.6.17. Une intégration par parties donne
a
0
g(x)f
(x) dx +
b
0
g
(x)f (x) dx
=
g(x)f (x)
b
a
−
a
0
g
(x)f (x) dx +
b
0
g
(x)f (x) dx
= f (a)g(a) +
b
a
g
(x)f (x) dx
f (a)g(a) +
b
a
g
(x)f (a) dx = f (a)g(b).
Le cas d’égalité se déduit immédiatement de ce qui précède.
I.6.18. Le changement de variable u = f −1 (t) et une intégration par parties
donnent
x
0
f (t) dt +
f (x)
0
f
−1 (t) dt =
x
0
f (t) dt +
x
0
uf
(u) du
= xf (x).
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