Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.6.13. Il suffit d’appliquer l’inégalité de Tchebychev généralisée (voir I.6.11)
en prenant p(x) = q 2 (x), f (x) = x et g(x) =
1
q(x) .
I.6.14. On obtient, en utilisant la convexité de f ,
b
a
f (x) dx = (b − a)
1
0
f ((1 − x)a + xb) dx
(b − a)
1
0
((1 − x)f (a) + xf (b)) dx
=
f (a) + f (b)
2
(b − a) .
On utilise pour prouver l’autre inégalité le changement de variable x =
a+b
2 + t
et on obtient
b
a
f (x) dx =
(b−a)/2
−(b−a)/2
f
a + b
2
+ t
dt
=
(b−a)/2
0
f
a + b
2
+ t
+ f
a + b
2
− t
dt
(b−a)/2
0
2f
a + b
2
dt = (b − a)f
a + b
2
.
I.6.15. On pose f (x) =
ln x
x , x > 0. Puisque f (x) =
2 ln x−3
x 3
, on voit que
f est strictement convexe sur ]e 3/2 , +∞[ et strictement concave sur ]0 , e 3/2 [.
Donc, si y > x e 3/2 , on a
ln A
A
= f
x + y
2
<
1
y − x
y
x
ln t
t
dt =
ln
2 y − ln
2 x
2(y − x)
=
ln G
L
,
ce qui donne A L < G A . On peut utiliser un raisonnement semblable pour
prouver que A L > G A si 0 < x < y e 3/2 .
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