Solutions
I.6.4. Le changement de variable t =
x−a
b−a montre qu’il suffit de considérer le
cas a = 0, b = 1. Posons, par commodité,
F =
1
0
f (x) dx, G =
1
0
g(x) dx
et
D(f, g) =
1
0
f (x)g(x) dx − F G.
D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz (voir I.6.1),
D(f, f ) =
1
0
f
2 (x) dx −
1
0
f (x) dx
2
0.
D’autre part, on a
D(f, f ) = (M 1 − F )(F − m 1 ) −
1
0
(M 1 − f (x)) (f (x) − m 1 ) dx,
ce qui implique
D(f, f ) (M 1 − F )(F − m 1 ).
Clairement,
D(f, g) =
1
0
(f (x) − F ) (g(x) − G) dx,
et, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
(D(f, g))
2
1
0
(f (x) − F )
2 dx
1
0
(g(x) − G)
2 dx = D(f, f )D(g, g).
Il s’ensuit que
(D(f, g))
2
(M 1 − F )(F − m 1 )(M 2 − G)(G − m 2 )
(M 1 − m 1 ) 2
4
×
(M 2 − m 2 ) 2
4
.
I.6.5. On a
b
a
xf (x)f
(x) dx =
1
2
b
a
x
f
2 (x)
dx
=
1
2
xf
2 (x)
b
a
−
b
a
f
2 (x) dx
= −
1
2
et, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz (voir I.6.1),
1
4
b
a
f
2 (x)
dx
b
a
x
2 f
2 (x) dx.
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