Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
ce qui donne l’inégalité désirée. Si maintenant f et g sont continues sur [a , b]
et que l’égalité est vérifiée, alors
b
a
(f (x)g(y) − f (y)g(x))
2 dx = 0
pour tout y ∈ [a , b]. En conséquence, f (x)g(y) − f (y)g(x) = 0 pour tout
x ∈ [a , b] et y ∈ [a , b]. Donc, s’il existe y 0 ∈ [a , b] tel que g(y 0 ) = 0, alors
f (x) =
f (y 0 )
g(y 0 ) g(x). Si g est identiquement nulle sur [a , b], on peut alors prendre
λ 1 = 0 et λ 2 = 1.
I.6.2. Il s’agit d’une conséquence immédiate de l’inégalité de CauchySchwarz.
I.6.3. D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz (voir I.6.1),
(b − a)
2 =
b
a
f (x)
1
f (x)
dx
2
b
a
f (x) dx
b
a
dx
f (x)
.
De plus, puisque
(f (x) − m)(f (x) − M )
f (x)
0 pour a x b,
on a
b
a
(f (x) − m)(f (x) − M )
f (x)
dx 0,
ce qui donne
b
a
f (x) dx + mM
b
a
dx
f (x)
(m + M )(b − a).
Donc,
mM
b
a
dx
f (x)
b
a
f (x) dx (m + M )(b − a)
b
a
f (x) dx −
b
a
f (x) dx
2
(m + M )
2 (b − a)
2
4
.
La dernière inégalité se déduit du fait que la fonction x → −x 2 + αx atteint
son maximum en x =
α
2 .
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