Solutions
On vérifie facilement que l’intégrale
1
0
ln(1−x)
x
dx converge. Les hypothèses de I.5.53 sont donc vérifiées. En conséquence,
1
0
ln(1 − x)
x
dx = −
+∞
n=1
1
0
x n−1
n
dx = −
+∞
n=1
1
n 2 = −
π 2
6
.
(Pour une démonstration élémentaire de la dernière égalité, voir, par
exemple, III.1.28(a) (vol. I).)
(b) Comme en (a), on obtient
1
0
ln(1 + x)
x
dx =
+∞
n=1
(−1)
n−1
1
0
x n−1
n
dx =
+∞
n=1
(−1) n−1
n 2
=
π 2
12
.
(c) On a
1
0
ln
1 + x 2
x
dx =
+∞
n=1
(−1) n−1
2n 2 =
π 2
24
.
(d) On pose
f (x) =
x
0
ln(1 − t)
t
dt, 0 x 1.
Une intégration par parties donne
1
0
ln x ln
2 (1 − x)
x
dx = −
1
0
f (x)
ln(1 − x)
x
−
ln x
1 − x
dx
= −
1
0
f (x)f
(x)dx +
1
0
f (x)
ln x
1 − x
dx
= −
1
2
f
2 (1) +
1
0
f (x)
ln x
1 − x
dx.
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