Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
Ceci signifie que l’intégrale
b
a ϕ(x) dx converge (comme une intégrale impropre
entre des bornes finies). On prouve maintenant que l’égalité cherchée est bien
vérifiée. Soit ε > 0. Il existe alors η 0 > 0 tel que, pour 0 < η < η 0 ,
b
b−η
f (x, y) dx
< ε (y ∈ A)
et
b
b−η
ϕ(x) dx
< ε.
De plus, il existe δ = δ(η, ε) tel que
b−η
a
f (x, y) dx −
b−η
a
ϕ(x) dx
< ε
si |y − y 0 | < δ. En conséquence,
b
a
f (x, y) dx −
b
a
ϕ(x) dx
< 3ε
dès que |y − y 0 | < δ.
Clairement, on suppose que y 0 est une valeur d’adhérence de A. De plus,
le raisonnement précédent s’applique au cas où f (x, y) est Riemann-intégrable
sur [a + η , b] avec 0 < η < b − a.
I.5.53. Pour appliquer le résultat du problème précédent avec A = N ∗ , on
remarque que, étant donné ε > 0, il existe 0 < η 0 < b − a tel que
b
b−η
f n (x) dx
b
b−η
|f n (x)| dx
b
b−η
f (x) dx < ε
pour 0 < η < η 0 .
I.5.54. Puisque
lim
y→+∞
e
−x y = ϕ(x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
1 si x ∈ [0 , 1[,
1
e
si x = 1,
0 si x > 1,
on voit que la convergence n’est pas uniforme sur [0 , b] (b > 1) et le résultat
de I.5.40 ne peut s’appliquer. On peut cependant écrire
+∞
0
e
−x y dx =
1
0
e
−x y dx +
2
1
e
−x y dx +
+∞
2
e
−x y dx.
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