Solutions
D’autre part,
F (N ) =
N
0
e
−t
1 +
t
1!
+
t 2
2!
+ · · · +
t 2N
(2N )!
dt <
N
0
1 dt = N.
La fonction F étant continue, le résultat cherché découle de la propriété des
valeurs intermédiaires.
I.4.47. On pose
P (x) = a n x
n + a n−1 x
n−1 + · · · + a 0 .
Par hypothèse,
1
0
(P (x))
2 dx = a 0
1
0
P (x) dx.
D’autre part,
1
0
x
k P (x) dx =
a n
n + k + 1
+
a n−1
n + k
+ · · · +
a 0
k + 1
(k ∈ N)
et, par hypothèse,
a n
n + k + 1
+
a n−1
n + k
+ · · · +
a 0
k + 1
= 0 pour k = 1, . . . , n.
On observe maintenant que
a n
n + k + 1
+
a n−1
n + k
+ · · · +
a 0
k + 1
=
Q(k)
(k + 1) . . . (n + k + 1)
,
(1)
où Q est un polynôme de degré au plus n. Puisque que Q(k) = 0 pour
k = 1, 2, . . . , n, il existe une constante C telle que
Q(k) = C(k − 1)(k − 2) . . . (k − n).
En prenant k = 0 dans (1), on voit que
1
0
P (x) dx =
a n
n + 1
+
a n−1
n
+ · · · +
a 0
1
= (−1)
n C
n + 1
.
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