Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
car
(f (x))
p ln(f (x)) − −− →
p→0
ln f (x) et (f (x))
p
− −− →
p→0
1
uniformément sur [0 , 1].
I.4.45. On obtient, en utilisant le résultat de I.4.41,
lim
p→−∞
1
0
(f (x))
p dx
1/p
= lim
p→∞
1
0
(f (x))
−p dx
−1/p
= lim
p→∞
1
1
0
dx
(f (x)) p
1/p
=
1
max
1
f (x) : x ∈ [0 , 1]
= min {f (x) : x ∈ [0 , 1]} .
I.4.46. On va utiliser l’inégalité suivante (voir, par exemple, II.5.30
(vol. II)) :
N
k=0
x k
k!
> e
x
−
x
N
e
x +
x
N
pour x > 0.
Si on pose
F (x) =
x
0
e
−t
1 +
t
1!
+
t 2
2!
+ · · · +
t 2N
(2N )!
dt,
on obtient alors, avec l’inégalité précédente,
F (2N ) =
2N
0
e
−t
1 +
t
1!
+
t 2
2!
+ · · · +
t 2N
(2N )!
dt
>
2N
0
1 −
t
2N
+ e
−t t
2N
dt > N.
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