Solutions
I.4.23. Les problèmes I.4.23–I.4.30 sont empruntés à [8].
Puisque
F (x) =
x
a
f (t) dt −
b
x
f (t) dt
est continue sur [a , b] et F (a) = −F (b), d’après la propriété des valeurs intermédiaires, il existe θ ∈ [a , b] tel que F (θ) = 0.
I.4.24. Posons
F (x) = e
−x
x
a
f (t) dt.
Par hypothèse, F (a) = F (b) = 0. D’après le théorème des accroissements finis,
il existe θ ∈ ]a , b[ tel que
F
(θ) = e
−θ f (θ) − e
−θ
θ
a
f (t) dt = 0.
I.4.25. On considère
F (x) =
1
x
x
a
f (t) dt.
Par hypothèse, F (a) = F (b) = 0. D’après le théorème des accroissements finis,
il existe θ ∈ ]a , b[ tel que
F
(θ) = −
1
θ 2
θ
a
f (t) dt +
1
θ
f (θ) = 0.
I.4.26. Il suffit d’appliquer le théorème des accroissements finis généralisé
aux fonctions
F (x) =
x
a
f (t) dt et G(x) =
x
a
g(t) dt.
I.4.27. On pose
F (x) =
x
a
f (t) dt
b
x
g(t) dt.
Puisque F (a) = F (b) = 0, il existe θ ∈ ]a , b[ tel que F (θ) = 0.
I.4.28. On considère
F (x) = e
−x
x
a
f (t) dt
b
x
g(t) dt
et on applique le théorème des accroissements finis.
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