Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
pour 0 < ε < 1. On voit, en faisant tendre ε vers 0 + , que
lim
n→+∞
π
0
n
√
x sin x dx = 2.
(c) On se donne ε > 0 suffisamment petit et on écrit
π/2
0
sin
n x
√
1 + x
dx =
π/2−ε
0
sin
n x
√
1 + x
dx +
π/2
π/2−ε
sin
n x
√
1 + x
dx.
Puisque {sin
n x} converge vers 0 uniformément sur
0 ,
π
2 − ε
, on obtient
lim
n→+∞
π/2−ε
0
sin
n x
√
1 + x
dx = 0.
De plus, pour n ∈ N ∗ ,
0 <
π/2
π/2−ε
sin
n x
√
1 + x
dx <
ε
1 +
π
2 − ε
.
Le passage à la limite lorsque ε tend vers 0 donne
lim
n→+∞
π/2
0
sin
n x
√
1 + x
dx = 0.
I.4.22. Soit 0 < ε < 1. On a
1
0
f (x
n ) dx =
1−ε
0
f (x
n ) dx +
1
1−ε
f (x
n ) dx
et, d’après la première formule de la moyenne (voir I.1.26),
1−ε
0
f (x
n ) dx = f (ξ
n ) (1 − ε) où 0 ξ 1 − ε.
Donc,
lim
n→+∞
1−ε
0
f (x
n ) dx = f (0)(1 − ε).
De plus,
1
1−ε
f (x
n ) dx
Mε où M = sup {|f (x)| : x ∈ [0 , 1]} .
On en déduit que
lim
n→+∞
1
0
f (x
n ) dx = f (0).
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