Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
L’égalité est évidente pour n = 1. Si n > 1, en utilisant le résultat du problème
précédent, on obtient
b
a
f (x) d ((f (x))
n ) =
b
a
(f (x))
2 d
(f (x))
n−1
+
b
a
(f (x))
n df (x)
=
b
a
(f (x))
3 d
(f (x))
n−2
+ 2
b
a
(f (x))
n df (x)
= · · · = n
b
a
(f (x))
n df (x).
La formule d’intégration par parties (théorème 1) et l’égalité prouvée précédemment donnent alors
b
a
(f (x))
n df (x) = (f (b))
n+1
− (f (a))
n+1
−
b
a
f (x) d ((f (x))
n )
= (f (b))
n+1
− (f (a))
n+1
− n
b
a
(f (x))
n df (x),
ce qui donne la seconde égalité.
I.3.22.
(a) On a
n
1
0
x
n f (x) dx =
n
n + 1
1
0
f (x) d
x
n+1
.
Clairement,
lim
n→+∞
x
n+1 = α(x) =
0 si x ∈ [0 , 1[,
1 si x = 1.
On obtient donc, en utilisant les résultats de I.3.12 et I.3.13,
lim
n→+∞
1
0
x
n f (x) dx =
1
0
f (x) d(α(x)) = f (1).
(b) Comme en (a), on obtient
lim
n→+∞
n
1
0
e
−nx f (x) dx
= − lim
n→+∞
1
0
f (x) d
e
−nx
= f (0).
(c) En utilisant (a), on obtient
lim
n→+∞
1
0 x n f (x) dx
1
0 x n e x 2 dx
= lim
n→+∞
n
1
0 x n f (x) dx
n
1
0 x n e x 2 dx
=
f (1)
e
.
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