Solutions
où
S(P, f, α 1 α 2 ) =
n
k=1
f (x k ) (α 1 (x k )α 2 (x k ) − α 1 (x k−1 )α 2 (x k−1 )) .
On pose M = max {|f (x)| : x ∈ [a , b]}. La continuité uniforme de α 2 implique
|α 2 (x k ) − α 2 (x k−1 )| <
ε
MV (α 1 ;a,b) pour k = 1, 2, . . . , n, si le pas de P est suffisamment petit. Donc,
n
k=1
f (x k ) (α 2 (x k−1 ) − α 2 (x k )) (α 1 (x k ) − α 1 (x k−1 ))
< ε.
De plus,
S(P, f, α 1 α 2 ) =
n
k=1
f (x k )α 1 (x k ) (α 2 (x k ) − α 2 (x k−1 ))
+
n
k=1
f (x k )α 2 (x k ) (α 1 (x k ) − α 1 (x k−1 ))
+
n
k=1
f (x k ) (α 2 (x k−1 ) − α 2 (x k )) (α 1 (x k ) − α 1 (x k−1 )) .
D’autre part,
n
k=1
f (x k )α 1 (x k ) (α 2 (x k ) − α 2 (x k−1 )) −
b
a
f (x)α 1 (x) dα 2 (x)
< ε
et
n
k=1
f (x k )α 2 (x k ) (α 1 (x k ) − α 1 (x k−1 )) −
b
a
f (x)α 2 (x) dα 1 (x)
< ε
si le pas de P est suffisamment petit. D’où
S(P, f, α 1 α 2 ) −
b
a
f (x)α 1 (x) dα 2 (x) −
b
a
f (x)α 2 (x) dα 1 (x)
< 3ε,
ce qui, combiné avec (1), donne le résultat désiré.
I.3.21. On montre d’abord que
b
a
f (x) d ((f (x))
n ) = n
b
a
(f (x))
n df (x).
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