Solutions
De plus,
V (α 2 ; 0, 1) =
+∞
n=N +1
c n < ε
et, en conséquence, d’après le théorème 3,
1
0
f dα −
1
0
f dα 1
=
1
0
f dα 2
MV (α 2 ; 0, 1) < Mε
où M = sup
x∈[0,1]
|f (x)|.
I.3.5. En prenant f (x) ≡ 1, on voit que α(b) = α(a). On définit maintenant
f pour a < u < v < b en posant
f (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
1
si x ∈ [a, u[,
−1 si x ∈ [v, b],
l(x) si x ∈ [u, v],
où l(x) est une fonction affine telle que l(u) = 1 et l(v) = −1. On a alors
0 =
b
a
f (x) dα(x) = α(u) − α(a) +
v
u
l(x) dα(x) − α(b) + α(v),
ou, de façon équivalente,
α(u) + α(v) − 2α(a) = −
v
u
l(x) dα(x).
(1)
De plus,
v
u
l(x) dα(x) =
v
u
l(x)dp(x) −
v
u
l(x)dq(x),
où p et q sont croissantes et continues sur [a , b] (voir I.2.20). En utilisant la
première formule de la moyenne, on obtient, par la continuité de p,
lim
v→u +
v
u
l(x)dp(x) = lim
v→u +
l(c)(p(v) − p(u)) = 0.
Il s’ensuit que
lim
v→u +
v
u
l(x) dα(x) = 0.
Ceci, combiné avec (1), montre que 2α(u) = 2α(a).
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