Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
On déduit de I.2.26 que β est à variation bornée sur [a , b]. Soit β = β 1 − β 2
une décomposition de β en la différence de deux fonctions croissantes. Puisque
f et g sont continues, on peut appliquer le résultat de I.1.10. Il s’ensuit que
b
a
f (x)g(x) dα(x) = lim
μ(P )→0
n
i=1
f (ξ i )g(ξ i ) (α(x i ) − α(x i−1 )) ,
les ξ i étant définis comme en (1). En conséquence,
b
a
f (x)g(x) dα(x) = lim
μ(P )→0
n
i=1
g(ξ i )
x i
x i−1
f (x) dα(x)
= lim
μ(P )→0
n
i=1
g(ξ i ) (β(x i ) − β(x i−1 ))
= lim
μ(P )→0
n
i=1
g(ξ i ) (β 1 (x i ) − β 1 (x i−1 ))
− lim
μ(P )→0
n
i=1
g(ξ i ) (β 2 (x i ) − β 2 (x i−1 ))
=
b
a
g(x) dβ 1 (x) −
b
a
g(x) dβ 2 (x)
=
b
a
g(x) dβ(x).
I.3.4. Puisque
+∞
n=1
c n converge, étant donné ε > 0, il existe N tel que
+∞
n=N +1
c n < ε.
Si on pose
α 1 (x) =
N
n=1
c n ρ(x − x n ) et α 2 (x) = α(x) − α 1 (x),
on a alors, d’après le résultat de I.1.2,
1
0
f dα 1 =
N
n=1
c n f (x n ).
88