342
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
4. Le th´ eor` eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5. Probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Chapitre V. ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux . . . . . . . . . . . . 125
1. D´ efinitions. Solutions maximales et globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2. Th´ eor` eme d’existence des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3. Th´ eor` eme d’existence et d’unicit´ e de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . 139
4. ´
Equations diff´ erentielles d’ordre sup´ erieur ` a un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5. Probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Chapitre VI. M´ ethodes de r´ esolution explicite des ´ equations diff´ erentielles 155
1. ´
Equations du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2. ´
Equations du premier ordre non r´ esolues en y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3. Probl` emes g´ eom´ etriques conduisant `
a des ´ equations diff´ erentielles du
premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4. ´
Equations diff´ erentielles du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5. Probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Chapitre VII. Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
1. G´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
2. Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires ` a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . 198
3. ´
Equations diff´ erentielles lin´ eaires d’ordre p ` a coefficients constants . 205
4. Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires ` a coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . 210
5. Probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Chapitre VIII. M´ ethodes num´ eriques ` a un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
1. D´ efinition des m´ ethodes ` a un pas, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
2. ´
Etude g´ en´ erale des m´ ethodes ` a un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
3. M´ ethodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4. Contrˆ ole du pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5. Probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Chapitre IX. M´ ethodes ` a pas multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
1. Une classe de m´ ethodes avec pas constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
2. M´ ethodes d’Adams-Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3. M´ ethodes d’Adams-Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
4. M´ ethodes de pr´ ediction-correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
5. Probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274