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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Chapitre I. Calculs num´ eriques approch´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1. Cumulation des erreurs d’arrondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2. Ph´ enom` enes de compensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3. Ph´ enom` enes d’instabilit´ e num´ erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4. Probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Chapitre II. Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques . . . . . . . . 21
1. M´ ethode d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2. Convergence des polynˆ omes d’interpolation de Lagrange p n quand n
tend vers +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3. Meilleure approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4. Stabilit´ e num´ erique du proc´ ed´ e d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . 45
5. Polynˆ omes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6. Probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Chapitre III. Int´ egration num´ erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1. M´ ethodes de quadrature ´ el´ ementaires et compos´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2. ´
Evaluation de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3. M´ ethodes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4. Formule d’Euler-Maclaurin et d´ eveloppements asymptotiques . . . . . .
77
5. M´ ethode d’int´ egration de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6. Probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Chapitre IV. M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations . . . . . . . . . .
93
1. Principe des m´ ethodes it´ eratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2. Cas des fonctions d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3. Cas des fonctions de R
m dans R
m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Chapitre I. Calculs num´ eriques approch´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1. Cumulation des erreurs d’arrondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Ph´ enom` enes de compensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Ph´ enom` enes d’instabilit´ e num´ erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4. Probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Chapitre II. Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques . . . . . . . . 21
1. M´ ethode d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2. Convergence des polynˆ omes d’interpolation de Lagrange p n quand n
tend vers +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3. Meilleure approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4. Stabilit´ e num´ erique du proc´ ed´ e d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . 45
5. Polynˆ omes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6. Probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Chapitre III. Int´ egration num´ erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1. M´ ethodes de quadrature ´ el´ ementaires et compos´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2. ´
Evaluation de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3. M´ ethodes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Formule d’Euler-Maclaurin et d´ eveloppements asymptotiques . . . . . .
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5. M´ ethode d’int´ egration de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6. Probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Chapitre IV. M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations . . . . . . . . . .
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1. Principe des m´ ethodes it´ eratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2. Cas des fonctions d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3. Cas des fonctions de R
m dans R
m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105