VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
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associ´ ee ` a la m´ ethode d’int´ egration (INT)
1
0
f (x)dx
q
j=1
b j f (c j ).
On suppose que cette m´ ethode est d’ordre p.
(α) Montrer que (INT) est d’ordre p − 1.
(β) En d´ eduire que p ≤ 2q.
5.4. On consid` ere une m´ ethode ` a un pas de la forme
(M)
y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n , h n )
qu’on suppose ˆ etre d’ordre p. On se donne par ailleurs une m´ ethode d’int´ egration
approch´ ee
(I)
1
0
g(u)du
1≤j≤q
b j g(c j )
d’ordre p au moins (il en existe pour p quelconque).
(a) On consid` ere la m´ ethode ` a un pas avec points interm´ ediaires t n,i = t n + c i h n
d´ efinie comme suit
(M
)

      
      


t n,i = t n + c i h n
y n,i = y n + c i h n Φ(t n , y n , c i h n )
p n,i = f (t n,i , y n,i )

 1 ≤ i ≤ q
t n+1 = t n + h n
y n+1 = y n + h n
1≤j≤q
b j p n,j .
Montrer que (M
) est d’ordre ≥ p + 1.
(b) Grˆ ace ` a un raisonnement par r´ ecurrence, montrer qu’il existe des m´ ethodes de
Runge-Kutta d’ordre p arbitrairement ´ elev´ e.