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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
A cette erreur s’ajoute une erreur d’arrondi
∆(x
y
) ≤ ε|x
y
| ≤ ε(|x| + ∆x)(|y| + ∆y).
En n´ egligeant les termes ∆x∆y, ε∆x, ε∆y, on obtient la formule approximative
∆(xy) ≤ |x|∆y + ∆x|y| + ε|xy|.
(∗)
Soit plus g´ en´ eralement des r´ eels x 1 , . . . , x k , suppos´ es repr´ esent´ es sans erreur. La
formule (∗) entraˆ ıne
∆(x 1 x 2 . . . x k ) ≤ ∆(x 1 . . . x k−1 )|x k | + ε|x 1 . . . x k−1 · x k |,
d’o` u par une r´ ecurrence ais´ ee :
∆(x 1 x 2 . . . x k ) ≤ (k − 1)ε|x 1 x 2 . . . x k |.
L’erreur sur un quotient est donn´ ee de mˆ eme par ∆(x/y) ≤ ε|x/y|. On en d´ eduit
pour tous exposants α i ∈ Z la formule g´ en´ erale
∆(x
α1
1 x
α2
2 . . . x
α k
k ) ≤ (|α 1 | + . . . + |α k | − 1)ε|x
α1
1 x
α2
2 . . . x
α k
k | ;
on observera que |α 1 | + . . . + |α k |−1 est exactement le nombre d’op´ erations requises
pour calculer x
α1
1 x
α2
2 . . . x
α k
k par multiplications ou divisions successives des x i .
Contrairement au cas de l’addition, la majoration de l’erreur d’un produit ne d´ epend
pas de l’ordre des facteurs.
½ººº Ê ÐÐ À ÓÖÒÒÖ
On s’int´ eresse ici au probl` eme de l’´ evaluation d’un polynˆ ome
P (x) =
n
k=0
a k x
k .
La m´ ethode la plus na¨ ıve qui vient `
a l’esprit consiste `
a poser x
0 = 1, s 0 = a 0 ,
puis `
a calculer par r´ ecurrence

 
 
x
k = x
k−1
· x
u k = a k · x
k
s k = s k−1 + u k
pour k ≥ 1.
Pour chaque valeur de k, deux multiplications et une addition sont donc n´ ecessaires.
Il existe en fait une m´ ethode plus efficace :
R` egle de H¨ orner – On factorise P (x) sous la forme :
P (x) = a 0 + x(a 1 + x(a 2 + . . . + x(a n−1 + xa n ) . . .)).