I – Calculs num´ eriques approch´ es
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En g´ en´ eral, les r´ eels x, y ne sont eux-mˆ emes connus que par des valeurs approch´ ees
x
, y
avec des erreurs respectives ∆x = |x
−x|, ∆y = |y
−y|. A ces erreurs s’ajoute
l’erreur d’arrondi
∆(x
+ y
) ≤ ε(|x
| + |y
|) ≤ ε(|x| + |y| + ∆x + ∆y).
Les erreurs ∆x, ∆y sont elles-mˆ emes le plus souvent d’ordre ε par rapport `
a |x| et
|y|, de sorte que l’on pourra n´ egliger les termes ε∆x et ε∆y. On aura donc :
∆(x + y) ≤ ∆x + ∆y + ε(|x| + |y|).
Soit plus g´ en´ eralement ` a calculer une somme
n
k=1
u k de r´ eels positifs. Les sommes
partielles s k = u 1 +u 2 +. . .+u k vont se calculer de proche en proche par les formules
de r´ ecurrence
s 0 = 0
s k = s k−1 + u k ,
k ≥ 1.
Si les r´ eels u k sont connus exactement, on aura sur les sommes s k des erreurs ∆s k
telles que ∆s 1 = 0 et
∆s k ≤ ∆s k−1 + ε(s k−1 + u k ) = ∆s k−1 + εs k .
L’erreur globale sur s n v´ erifie donc
∆s n ≤ ε(s 2 + s 3 + . . . + s n ),
soit
∆s n ≤ ε(u n + 2u n−1 + 3u n−2 + . . . + (n − 1)u 2 + (n − 1)u 1 ).
Comme ce sont les premiers termes somm´ es qui sont affect´ es des plus gros coefficients
dans l’erreur ∆s n , on en d´ eduit la r` egle g´ en´ erale suivante (cf. exemple 1.2).
R` egle g´ en´ erale – Dans une sommation de r´ eels, l’erreur a tendance ` a ˆ etre
minimis´ ee lorsqu’on somme en premier les termes ayant la plus petite valeur absolue.
½ººº ÖÖÖÙÖ ³³ÖÖÓÒÒÒ ×ÙÖ ÙÒ ÔÖÓÓÙÙØ
Le produit de deux mantisses de N chiffres donne une mantisse de 2N ou 2N − 1
chiffres dont les N ou N − 1 derniers vont ˆ etre perdus. Dans le calcul d’un produit
xy (o` u x, y sont suppos´ es repr´ esent´ es sans erreur) il y aura donc une erreur d’arrondi
∆(xy) ≤ ε|xy|, o` u ε = b
1−N .
Si x et y ne sont eux-mˆ emes connus que par des valeurs approch´ ees x
, y
et si
∆x = |x
− x|, ∆y = |y
− y|, on a une erreur initiale
|x
y
− xy| = |x(y
− y) + (x
− x)y
| ≤ |x|∆y + ∆x|y
|
≤ |x|∆y + ∆x|y| + ∆x∆y.
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En g´ en´ eral, les r´ eels x, y ne sont eux-mˆ emes connus que par des valeurs approch´ ees
x
, y
avec des erreurs respectives ∆x = |x
−x|, ∆y = |y
−y|. A ces erreurs s’ajoute
l’erreur d’arrondi
∆(x
+ y
) ≤ ε(|x
| + |y
|) ≤ ε(|x| + |y| + ∆x + ∆y).
Les erreurs ∆x, ∆y sont elles-mˆ emes le plus souvent d’ordre ε par rapport `
a |x| et
|y|, de sorte que l’on pourra n´ egliger les termes ε∆x et ε∆y. On aura donc :
∆(x + y) ≤ ∆x + ∆y + ε(|x| + |y|).
Soit plus g´ en´ eralement ` a calculer une somme
n
k=1
u k de r´ eels positifs. Les sommes
partielles s k = u 1 +u 2 +. . .+u k vont se calculer de proche en proche par les formules
de r´ ecurrence
s 0 = 0
s k = s k−1 + u k ,
k ≥ 1.
Si les r´ eels u k sont connus exactement, on aura sur les sommes s k des erreurs ∆s k
telles que ∆s 1 = 0 et
∆s k ≤ ∆s k−1 + ε(s k−1 + u k ) = ∆s k−1 + εs k .
L’erreur globale sur s n v´ erifie donc
∆s n ≤ ε(s 2 + s 3 + . . . + s n ),
soit
∆s n ≤ ε(u n + 2u n−1 + 3u n−2 + . . . + (n − 1)u 2 + (n − 1)u 1 ).
Comme ce sont les premiers termes somm´ es qui sont affect´ es des plus gros coefficients
dans l’erreur ∆s n , on en d´ eduit la r` egle g´ en´ erale suivante (cf. exemple 1.2).
R` egle g´ en´ erale – Dans une sommation de r´ eels, l’erreur a tendance ` a ˆ etre
minimis´ ee lorsqu’on somme en premier les termes ayant la plus petite valeur absolue.
½ººº ÖÖÖÙÖ ³³ÖÖÓÒÒÒ ×ÙÖ ÙÒ ÔÖÓÓÙÙØ
Le produit de deux mantisses de N chiffres donne une mantisse de 2N ou 2N − 1
chiffres dont les N ou N − 1 derniers vont ˆ etre perdus. Dans le calcul d’un produit
xy (o` u x, y sont suppos´ es repr´ esent´ es sans erreur) il y aura donc une erreur d’arrondi
∆(xy) ≤ ε|xy|, o` u ε = b
1−N .
Si x et y ne sont eux-mˆ emes connus que par des valeurs approch´ ees x
, y
et si
∆x = |x
− x|, ∆y = |y
− y|, on a une erreur initiale
|x
y
− xy| = |x(y
− y) + (x
− x)y
| ≤ |x|∆y + ∆x|y
|
≤ |x|∆y + ∆x|y| + ∆x∆y.