114
8
•
Équations différentielles, méthodes àunpas
6. Étude d’erreur
Pour n fixé, évaluer U (:, j ) − yex (:, j ) 2 pour j = 1àn +1,puis
err = max
j = 1 ,..., n +1
U (:, j ) − yex (:, j ) 2 .Sauvegarder sous SD4.m.Afficher err pour n = 10.
✞
☎
>> SD4
ans =
0.0027
✝
✆
7. Faire varier n sur plusieurs valeurs entre 5et200 et dessiner log( err )enfonction de log( n ) .
En déduire l’ordre de la méthode. Sauvegarder sous SD5.m.
✞
☎
>> SD5
tn =
51 02 05 01 00
200
taberr =
0.0118
0.0027
0.0006
0.0001
0.0000
0.0000
✝
✆
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
−13
−12
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
log(n)
log(erreur)
Pente de la droite : −2.0513
8. On considère l’équation différentielledusecond ordre
y
( t ) = − ty
( t ) − y ( t ) t ∈ [0, 1] avec y (0) = 1 , y
(0) = 0 .
La solution exacte est y ( t ) = e
− t
2 / 2
.Transformer cette équation en un système
Y
( t ) = A ( t ) Y ( t )
Y (0) = h
où Y ( t ) =
y ( t )
y
( t )
.
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Équations différentielles, méthodes àunpas
6. Étude d’erreur
Pour n fixé, évaluer U (:, j ) − yex (:, j ) 2 pour j = 1àn +1,puis
err = max
j = 1 ,..., n +1
U (:, j ) − yex (:, j ) 2 .Sauvegarder sous SD4.m.Afficher err pour n = 10.
✞
☎
>> SD4
ans =
0.0027
✝
✆
7. Faire varier n sur plusieurs valeurs entre 5et200 et dessiner log( err )enfonction de log( n ) .
En déduire l’ordre de la méthode. Sauvegarder sous SD5.m.
✞
☎
>> SD5
tn =
51 02 05 01 00
200
taberr =
0.0118
0.0027
0.0006
0.0001
0.0000
0.0000
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1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
−13
−12
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
log(n)
log(erreur)
Pente de la droite : −2.0513
8. On considère l’équation différentielledusecond ordre
y
( t ) = − ty
( t ) − y ( t ) t ∈ [0, 1] avec y (0) = 1 , y
(0) = 0 .
La solution exacte est y ( t ) = e
− t
2 / 2
.Transformer cette équation en un système
Y
( t ) = A ( t ) Y ( t )
Y (0) = h
où Y ( t ) =
y ( t )
y
( t )
.