Énoncés des exercices
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4. Plus généralement,onconsidère un polygone de contrôle { b 0 ,...,b n } avec b i =
x i
y i
où
x i = i / n et y i > 0. Montrer que la courbe de Bézier correspondante P ( t ) =
x ( t ) = t
y ( t )
, t ∈ [0, 1]
vérifie y ( t ) > 0. Ya-t-il une réciproque ?
5. Étudierles variations de v et montrer que la fonction v est décroissante.
6. Déterminer le polygone de contrôle { c 0 , c 1 , c 2 , c 3 } de la courbe Q 1 ( t )interprétée comme
unecourbe de Bézier.
7. Dessiner courbe et polygone de contrôle de Q 1 .
8. Plus généralement, on considère un polygone de contrôle { c 0 ,...,c n } avec c i =
u i
v i
où
u i = − 1+i / n et la suite ( v i )est décroissante. Montrer que la courbe de Bézier correspondante
Q ( t ) =
u ( t ) = t − 1
v ( t )
vérifie v
( t ) 0, c’est-à-dire que v est décroissante. Ya -t-il une
réciproque?
9. Étudier la régularité du raccordentre P et Q .
7.5 Détermination du polygone de contrôle
Soit x ( t ) =
n
i = 0
a i t
i
une fonction polynômiale de [0, 1] àvaleurs dans R .Onsouhaite déterminer
les coefficients x i , i = 0 ,...,n tels que x ( t ) =
n
i = 0
x i B
n
i ( t ); il s’agit en fait d’un changement
de base dans P n .Ainsi, àpartir d’une courbe paramétrée b ( t ) =
n
i = 0
A i t
i
de [0, 1] dans E = R
2
,
polynômiale de degré inférieur ou égal à n ,ondéterminera sonpolygone de contrôle { b 0 ,...,b n }
où b i = ( x i , y i )
T
.
1. En calculantl es dérivées successives x
( r )
(0), pour r = 0 ,..., n ,m ontrer que x 0 = a 0 ,
D x 0 = a 1 / n ,...,
n
r
D
r
x 0 = a r où D
0
x i = x i et D
r
x i = D
r − 1
x i +1 − D
r − 1
x i pour r 1.
On en déduit ainsi quesi x = ( x 0 ,...,x n )
T
et a = ( a 0 ,...,a n )
T
,alors
UVMVx = a
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit