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6
•
Moindres carrés
N L + N R +1lignes et M +1colonnes :
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
( − N L )
M
( − N L )
M − 1
...
− N L
1
( − N L +1)
M
... − N L +1 1
. . .
. . .
( − 1)
M
( − 1)
M − 1
...
− 11
00
...
01
11
...
11
. . .
. . .
N
M
R
N
M − 1
R
...
N R
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Ce qui est remarquable, c’est que A ne dépend pas du point x i .
2. Si pour F = ( f i − N L ,..., f i + N R )
T
,nous numérotons ànouveau les lignes de i − N L à i + N R ,
alors la j ème ligne de A a − F i est exactement p ( x j ) − f j et donc
J ( a ) =
i + N R
j = i − N L
( p ( x j ) − f j )
2
= A a − F i
2
2
en reprenant la définition de la norme 2(cf. Chapitre 3).
3. On se retrouvedans le cadre du paragraphe sur la mise en équation et le minimum de J est
atteint en ¯a où A ¯a est la projection orthogonale de F i sur ImA soit A
T
A ¯a = A
T
F i .
4. En supposantque N L + N R M ,enextrayant les M +1premières lignes de A ,onaune
matricedeV andermonde qui est de rang M +1.Lesystème précédent admet une solution unique
¯a = ( A
T
A )
− 1
A
T
F i .
5. , 6. et 7. La solution cherchée vérifie g i = p ( x i ) = e
T
M +1 ( A
T
A )
− 1
A
T
F i = C
T
F i où
C = A ( A
T
A )
− 1
e M +1 .Onvoir clairement que comme A , C ne dépend pas de i et n’est àcalculer
qu’une fois.
Il reste une contrainte, c’est que i doit varier entre N L +1et n − N R ;c’est dire qu’il est impossible
de filtrer les premiers et derniers éléments par cette méthode.
8...12 gol123.m
✞
☎
clear
NL=20;NR=20;
M=4;
%c alcul de A
A=ones(NL+NR+1,M+1);
V=(-NL:NR)’;
A(:,M)=V;
for j=M-1:-1:1
A(:,j)=A(:,j+1).*V;
end;
%c alcul de C