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Valeurs approchées d’intégrales
5.2 Méthodedes trapèzes
1. Quadratureélémentairesur [ a , b ]
Soit f une fonction continue sur [ a , b ]àvaleurs dans R .Oncherche des valeurs approchées de
I =
b
a
f ( t ) dt.Une approximation est donnée par la méthode des trapèzes :
i = ( b − a )
f ( a )+ f ( b )
2
.
(a) Montrer que si f ∈C
1
[ a , b ], alors I = i −
b
a
f
( t )(t −
a + b
2
) dt.
(b) Montrerque J =
b
a
f
(
a + b
2
)(t −
a + b
2
) dt = 0. Puis en calculant I − J ,endéduire que
pour f ∈C
2
[ a , b ], l’erreur vérifie :
e = | I − i |
1
12
( b − a )
3
M 2 où M 2 = sup
t ∈ [ a , b ]
| f
(2)
( t ) | .
(5.1)
2. Formules composées
Soit n ∈ N
∗
. On pose h = ( b − a ) / n et x k = a + kh, k = 0 ,...,n .S ur chaque intervalle
[ x k , x k +1 ], on approche
x k +1
x k
f ( t ) dt par la formule précédente et on somme.
En déduire Iapp( h )nouvelle approximation de I puis majorer E ( h ) = | I − Iapp( h ) | .
3. Programmation
L’objectif est d’approcher I =
b
a
f ( t ) dt par la formule des trapèzes
Iapp( h ) =
h
2
[ f ( a )+ f ( b )+2
N − 1
k = 1
f ( a + kh)] où h =
b − a
N
.
(a) Écrire un fichier f.m qui contiendra la fonction f ,par exemple f ( x ) = exp(x ).
✞
☎
>> f([0.5 1])
ans =
1.6487
2.7183
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(b) É crire un fichier trap.m,q ui utilisera la fonction f et qui permettra le calcul approché de
l’intégrale par trap(a,b,N) et tester avec a = 0 , b = 1 , N = 10.
✞
☎
>> trap(0,1,10)
ans =
1.7197
✝
✆