Énoncés des exercices
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ÉNONCÉS DES EXERCICES
Dans cettep artie, après un premier exercice d’applications, le deuxième exercice permetd e
construire la méthode des trapèzes pas àpas, puis d’étudier les erreurs théorique et numérique
de cetteméthode. Le suivant, méthode d’extrapolation, améliore les résultats précédents, gère un
tableau et ànouveau étudie une erreur.Ledernier exercice applique la méthode des trapèzes àla
résolution numérique d’une équation intégrale avec étude d’erreur.
5.1 Premiers calculs
1. Interpolationetintégration
Soient t 1 ,...,t M , M points distincts de [ − 1 , 1]. Pour une fonction f continue sur [ − 1 , 1], on
désignepar p ∈ P M − 1 le polynôme d’interpolation de Lagrange de f en les t j .
(a) Montrer que si nous construisons la quadrature élémentaire J ( f ) =
1
− 1
p ( t ) dt alors
J ( f ) =
M
j = 1
a j f ( t j );
préciser les a j en utilisant la base de Lagrange.
(b) Montrer que la méthode est d’ordre au moins M − 1.
(c) Montrer que si f ∈C
M
([− 1 , 1]), alors
E ( f ) =
1
− 1
f ( t ) dt − J ( f )
max
t ∈ [ − 1 , 1]
| f
( M )
( t ) |
M !
1
− 1
| P M ( t ) | dt avec P M ( t ) =
M
j = 1
( t − t j ) .
2. Ordremaximum
Soient a 1 et a 2 2r éels et t 1 et t 2 2r éels de [ − 1 , 1]. On considère la quadrature élémentaire
J ( f ) = a 1 f ( t 1 )+a 2 f ( t 2 ). Déterminer ces 4réels pour que la quadrature soit d’ordre 3.
3. Majoration et erreur réelle
Déterminer un entier n pour que la méthode des trapèzes composée àpas constant donne une erreur
inférieure à10
− 10
dans l’approximation de
1
0
t
4
dt.(Après la programmation de l’exercice 5.2,
déterminer la valeur minimum de n àl ’aide de Matlab.) Même question pour la méthode de
Simpson.
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit