Énoncés des exercices
33
À noter que si f est définie en dehorsde[a , b ]etrégulière, on peut aussi choisir x en dehors de
cetintervalle.
(a) Montrer que g ( x 1 ) = g ( x 2 ) = ··· = g ( x n +1 ) = 0et g ( x ) = 0.
En déduire qu’ilexiste x
1
1 < x
1
2 < ··· < x
1
n +1 telque
g
( x
1
1 ) = g
( x
1
2 ) = ··· = g
( x
1
n +1 ) = 0
(b) Montrer qu’il existe un point x
n +1
1
= j tel que
g
( n +1)
( j ) = 0
(c) En déduire qu’il existe j appartenant àl’intervalle ouvert contenant x et les x i tel que
e ( x ) =
1
( n +1)!
n +1
j = 1
( x − x j ) f
( n +1)
( j )( 4.1)
5. Le phénomènedeRunge
On échantillonne f ( x ) =
1
1+x 2 en n +1points équidistants sur [ − 5 , 5] ; x j = − 5+10
j
n
pour
j = 0 ,...,n .
É crire un programme àl ’aide de Matlab pour compléteru nt ableau tabl contenant une suite
de valeurs de n ,l es valeurs de f , p et e au point x n −
1
2
= 5 − 5 / n .P our n donné, on pourra
aussi tracer le graphe de f et celui de p .P our obtenir l’interpolant, utiliser successivement
les instructions coeff=polyfit(x,y,n) qui donne les coefficients du polynôme de degré n
approchant les n +1points ( x i , y i )ausens de moindres carrés, donc le polynôme de Lagrange, p n ,
puis polyval(coeff,t) pour calculer la valeur de p n en un ou des points t .T est avec les valeurs
de n contenues dans le tableau tabn = 2:2:20.
✞
☎
>> tabl =
2.0000
0.1379
0.7596
0.6217
4.0000
0.0664
-0.3568
0.4232
6.0000
0.0545
0.6079
0.5534
8.0000
0.0497
-0.8310
0.8807
10.0000
0.0471
1.5787
1.5317
12.0000
0.0454
-2.7550
2.8004
14.0000
0.0443
5.3327
5.2884
16.0000
0.0435 -10.1739
10.2174
18.0000
0.0429
20.1237
20.0808
20.0000
0.0424 -39.9524
39.9949
nf (x)
p(x)
erreur
✝
✆
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit
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À noter que si f est définie en dehorsde[a , b ]etrégulière, on peut aussi choisir x en dehors de
cetintervalle.
(a) Montrer que g ( x 1 ) = g ( x 2 ) = ··· = g ( x n +1 ) = 0et g ( x ) = 0.
En déduire qu’ilexiste x
1
1 < x
1
2 < ··· < x
1
n +1 telque
g
( x
1
1 ) = g
( x
1
2 ) = ··· = g
( x
1
n +1 ) = 0
(b) Montrer qu’il existe un point x
n +1
1
= j tel que
g
( n +1)
( j ) = 0
(c) En déduire qu’il existe j appartenant àl’intervalle ouvert contenant x et les x i tel que
e ( x ) =
1
( n +1)!
n +1
j = 1
( x − x j ) f
( n +1)
( j )( 4.1)
5. Le phénomènedeRunge
On échantillonne f ( x ) =
1
1+x 2 en n +1points équidistants sur [ − 5 , 5] ; x j = − 5+10
j
n
pour
j = 0 ,...,n .
É crire un programme àl ’aide de Matlab pour compléteru nt ableau tabl contenant une suite
de valeurs de n ,l es valeurs de f , p et e au point x n −
1
2
= 5 − 5 / n .P our n donné, on pourra
aussi tracer le graphe de f et celui de p .P our obtenir l’interpolant, utiliser successivement
les instructions coeff=polyfit(x,y,n) qui donne les coefficients du polynôme de degré n
approchant les n +1points ( x i , y i )ausens de moindres carrés, donc le polynôme de Lagrange, p n ,
puis polyval(coeff,t) pour calculer la valeur de p n en un ou des points t .T est avec les valeurs
de n contenues dans le tableau tabn = 2:2:20.
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>> tabl =
2.0000
0.1379
0.7596
0.6217
4.0000
0.0664
-0.3568
0.4232
6.0000
0.0545
0.6079
0.5534
8.0000
0.0497
-0.8310
0.8807
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0.0471
1.5787
1.5317
12.0000
0.0454
-2.7550
2.8004
14.0000
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5.2884
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10.2174
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0.0429
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20.0808
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0.0424 -39.9524
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nf (x)
p(x)
erreur
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Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit