Énoncés des exercices
31
5. É crire la base { B
3
i } i = 0 , 1 , 2 , 3 dans la base canonique sous la forme :
⎛
⎜
⎜
⎝
B
3
0 ( t )
B
3
1 t )
B
3
2 ( t )
B
3
3 ( t )
⎞
⎟
⎟
⎠ = A
⎛
⎜
⎜
⎝
1
t
t
2
t
3
⎞
⎟
⎟
⎠ où
A ∈ R
4 × 4
.Demême écrire la base { H
3
i } i = 0 , 1 , 2 , 3 dans la base canonique.
6. En déduire l’expressiondes polynômes H
3
i dans la base de Bernstein.
7. Déterminer l’interpolantd’Hermite des quatre données f (0), f
(0), f
(1), f (1) dans la base
de Bernstein.
8. À l’aide de Matlab,t racer les fonctions polynômiale { B
3
i } i = 0 , 1 , 2 , 3 puis { H
3
i } i = 0 , 1 , 2 , 3 sur
[0, 1].
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
base de Bernstein
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
base d’Hermite
B
3
0
B
3
2
B
3
1
B
3
3
H
3
0
H
3
2
H
3
1
H
3
3
4.2 Interpolation de Lagrange
Soit a = x 1 < x 2 <... < x n +1 = b une subdivision de l’intervalle [ a , b ]. On se donne n +1réels
y i .
1. Existence et unicité
Pour i = 1 ,...,n +1,ondéfinit i ( x ) =
n +1
j = 1
j = i
x − x j
x i − x j
.Montrer que { 1 ,, 2 ,..., n +1 } est une base
de P n = R n [ X ]. On l’appelle base de Lagrange de P n .
2. Montrerqu’il existe un unique polynôme p de degré inférieur ou égal à n tel que p ( x j ) = y j
pour j = 1àn +1.
3. Changement de base
On note p k le polynôme d’interpolation des k +1premières données, i.e. ( x j , y j ) , j = 1àk +1.
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit