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Problèmes
Si de plus v (0) = v (1) = 0alors le crochet disparaît et
L
0
u
( x ) v
( x ) dx +
L
0
c ( x ) u ( x ) v ( x ) dx =
L
0
f ( x ) v ( x ) dx.
2. Si v est C
1
par morceaux, on intègre par parties sur chacun des morceaux et la formule reste
la même.
3. Si ¯u =
n
j = 1
z j w j où { w 1 ,...,w n } est une base de V n ,p ar linéarité, ¯u vérifie (11.5) si et
seulement si l’équation est vérifiée pour une base de V n i.e. pour tout i de 0àn ,
L
0
¯u
( x ) w
i ( x ) dx +
L
0
c ( x ) ¯u ( x ) w i ( x ) dx =
L
0
f ( x ) w i ( x ) dx
⇔
n
j = 1
z j
L
0
w
j ( x ) w
i ( x ) dx +
L
0
c ( x ) w j ( x ) w i ( x ) dx
=
L
0
f ( x ) w i ( x ) dx
⇔
n
j = 1
z j ( r ij + m ij ) = b i ,
où r ij =
L
0
w
i ( x ) w
j ( x ) dx, m ij =
L
0
c ( x ) w i ( x ) w j ( x ) dx et b i =
L
0
f ( x ) w i ( x ) dx.N otons
que la matrice R + M est symétrique.
4.
z
t
( R + M ) z =
n
i = 1
n
j = 1
z j ( r ij + m ij ) z i
=
L
0
⎛
⎝
n
i = 1
n
j = 1
w
j ( x ) z j w
i ( x ) z i
⎞
⎠ dx +
L
0
c ( x )
⎛
⎝
n
i = 1
n
j = 1
w j ( x ) z j w i ( x ) z i
⎞
⎠ dx
=
L
0
n
k = 1
w
k ( x ) z k
2
dx +
L
0
c ( x )
n
k = 1
w k ( x ) z k
2
dx
=
L
0
⎡
⎣
n
k = 1
w
k ( x ) z k
2
+ c ( x )
n
k = 1
w k ( x ) z k
2
⎤
⎦ dx 0
Si z
t
( R + M ) z = 0, sachant que c > 0, puisqu’on additionne 2termes positifs, on en déduit que
L
0
c ( x )
n
k = 1
w k z k ( x )
2
dx = 0. Puisque
n
k = 1
w k z k est continue sur [0, L ], son carré l’est aussi
ainsique c
n
k = 1
w k z k
2
si bien que c ( x )
n
k = 1
w k ( x ) z k
2
= 0sur [0, L ]etcomme c > 0, c’est