Corrigés desproblèmes
191
b) Problème approché sur le carré
1. Au point P a (2h , h ), nous avons
D h U h (2h , h ) =
U h (3h , h )+U h ( h , h )+U h (2h , 2 h )+U h (2h , 0) − 4 U h (2h , h )
h 2
.
Sachant que U h (2h , 0) = g (2h , 0), nous obtenons l’équation :
4+h
2
c (2h , h )
U h (2h , h ) − U h (3h , h ) − U h ( h , h ) − U h (2h , 2 h ) = h
2
f (2h , h )+g (2h , 0).
De même, au point P b ( Nh, Nh), nous avons
4+h
2
c ( Nh, Nh)
U h ( Nh, Nh) − U h ((N − 1)h , Nh) − U h ( Nh, ( N − 1)h )
= h
2
f ( Nh, Nh)+g ( Nh, 1) + g (1, Nh) ,
et au point P c (3h , 2 h ),
4+h
2
c (3h , 2 h )
U h (3h , 2 h ) − U h (4h , 2 h ) − U h (3h , 3 h ) − U h (2h , 2 h ) − U h (3h , h ) = h
2
f (3h , 2 h ) .
Il yadonc 2sortes de points dans V h :ceux qui sont «voisins »delafrontière, type P a ou P b ,
pour lesquels certains des 4voisins utilisés sont sur la frontière où U h est connue et vaut g ,
et ceux qui sont «intérieurs », type P c ,pour lesquels les valeurs de U h aux 4voisins sont aussi
des inconnues.
2. À chaque point de V h correspond donc une équation linéaire et ( P h )peut s’écrire A h U h =
F h + G h où A h ∈ R
N
2 × N
2 et F h , G h ∈ R
N
2 , F h correspond au second membre de l’équation
initiale et ses composantes sont du type h
2
f ( x i , y j ), G h correspond àlacontribution des points
frontièresaucalcul de D h .
3. En étudiant les équationsenchaque point, ligne par ligne, de bas en haut, on obtient l’écriture
du système proposée.
4. Pour le point P ij = ( ih, jh)de V h ,dans l’équation correspondante, le coefficient diagonal
de A h est 4+h
2
c ( ih, jh). Sur la même ligne, en dehors de la diagonale, il yaauplus 4fois − 1et
donc A h est àdiagonale dominante stricte dès que c > 0, ce qui est une hypothèse.
5. Lesv aleurs propres l de A h = ( a k ) k ,,= 1 ,..., N 2 sont dans au moins un des N
2
disques de
Gershgorin
⎧
⎨
⎩
z ∈ C , | z − a kk |
N
2
= 1 ,, = k
| a k |
⎫
⎬
⎭
k = 1 ,..., N 2
,s ib ien que 0n ep eut être une valeur
propre. Donc A h est inversible et le problème ( P h )admet une solution unique.
c) Programmation
La validation du programme se fait en prenant u une fonction polynômiale du second degré, ainsi
D h u = D u et solutions exacte et approchée coïncident. On choisit c > 0etonconstruit f pour
que − D u + cu = f .
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit
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b) Problème approché sur le carré
1. Au point P a (2h , h ), nous avons
D h U h (2h , h ) =
U h (3h , h )+U h ( h , h )+U h (2h , 2 h )+U h (2h , 0) − 4 U h (2h , h )
h 2
.
Sachant que U h (2h , 0) = g (2h , 0), nous obtenons l’équation :
4+h
2
c (2h , h )
U h (2h , h ) − U h (3h , h ) − U h ( h , h ) − U h (2h , 2 h ) = h
2
f (2h , h )+g (2h , 0).
De même, au point P b ( Nh, Nh), nous avons
4+h
2
c ( Nh, Nh)
U h ( Nh, Nh) − U h ((N − 1)h , Nh) − U h ( Nh, ( N − 1)h )
= h
2
f ( Nh, Nh)+g ( Nh, 1) + g (1, Nh) ,
et au point P c (3h , 2 h ),
4+h
2
c (3h , 2 h )
U h (3h , 2 h ) − U h (4h , 2 h ) − U h (3h , 3 h ) − U h (2h , 2 h ) − U h (3h , h ) = h
2
f (3h , 2 h ) .
Il yadonc 2sortes de points dans V h :ceux qui sont «voisins »delafrontière, type P a ou P b ,
pour lesquels certains des 4voisins utilisés sont sur la frontière où U h est connue et vaut g ,
et ceux qui sont «intérieurs », type P c ,pour lesquels les valeurs de U h aux 4voisins sont aussi
des inconnues.
2. À chaque point de V h correspond donc une équation linéaire et ( P h )peut s’écrire A h U h =
F h + G h où A h ∈ R
N
2 × N
2 et F h , G h ∈ R
N
2 , F h correspond au second membre de l’équation
initiale et ses composantes sont du type h
2
f ( x i , y j ), G h correspond àlacontribution des points
frontièresaucalcul de D h .
3. En étudiant les équationsenchaque point, ligne par ligne, de bas en haut, on obtient l’écriture
du système proposée.
4. Pour le point P ij = ( ih, jh)de V h ,dans l’équation correspondante, le coefficient diagonal
de A h est 4+h
2
c ( ih, jh). Sur la même ligne, en dehors de la diagonale, il yaauplus 4fois − 1et
donc A h est àdiagonale dominante stricte dès que c > 0, ce qui est une hypothèse.
5. Lesv aleurs propres l de A h = ( a k ) k ,,= 1 ,..., N 2 sont dans au moins un des N
2
disques de
Gershgorin
⎧
⎨
⎩
z ∈ C , | z − a kk |
N
2
= 1 ,, = k
| a k |
⎫
⎬
⎭
k = 1 ,..., N 2
,s ib ien que 0n ep eut être une valeur
propre. Donc A h est inversible et le problème ( P h )admet une solution unique.
c) Programmation
La validation du programme se fait en prenant u une fonction polynômiale du second degré, ainsi
D h u = D u et solutions exacte et approchée coïncident. On choisit c > 0etonconstruit f pour
que − D u + cu = f .
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit