Corrigés desexercices
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4. DécompositiondeCholesky
Soit X = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )
T
,alors
X
T
AX =
x 1 x 2 x 3 x 4
⎛
⎜
⎜
⎝
4020
0402
2050
0205
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1
x 2
x 3
x 4
⎞
⎟
⎟
⎠
=
x 1 x 2 x 3 x 4
⎛
⎜
⎜
⎝
4 x 1 +2x 3
4 x 2 +2x 4
2 x 1 +5x 3
2 x 2 +5x 4
⎞
⎟
⎟
⎠
= 4 x
2
1 +4x 1 x 3 +5x
2
3 +4x
2
2 +4x 2 x 4 +5x
2
4
= (2x 1 + x 3 )
2
+4x
2
3 +(2 x 2 + x 4 )
2
+4x
2
4
Donc X
T
AX 0etsi X
T
AX = 0, alors 2 x 1 + x 3 = 0, x 3 = 0, 2 x 2 + x 4 = 0, x 4 = 0, système
dont l’unique solution est X = 0. La matrice est définie positive.
Déterminons C telle que C =
⎛
⎜
⎜
⎝
c 11 c 12 c 13 c 14
0 c 22 c 23 c 24
00 c 33 c 34
000 c 44
⎞
⎟
⎟
⎠ et C
T
C = A .
Remarquons que la première colonne de C
T
C est
⎛
⎜
⎜
⎝
c
2
11
c 12 c 11
c 13 c 11
c 14 c 11
⎞
⎟
⎟
⎠ .Sachant que c 11 > 0, on en déduit
c 11 = 2, c 12 = 0, c 13 = 1, c 14 = 0. La première ligne de C est déterminée.
Àl’aide de ces informations, la deuxième colonne de C
T
C est
⎛
⎜
⎜
⎝
2 × 0
0
2
+ c
2
22
1 × 0+c 23 c 22
0 × 0+c 24 c 22
⎞
⎟
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎜
⎝
0
4
0
2
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Puisque c 22 > 0, on en déduit c 22 = 2, c 23 = 0, c 24 = 1. On remarque aussi qu’il suffisait de
s’intéresser aux trois dernières lignes C
T
C .
Dans la troisième colonne, les deux dernières lignes vérifient
1+c
2
33
c 34 c 33
=
5
0
.Puisque c 33 > 0,
on en déduit c 33 = 2, c 34 = 0.
Enfin la dernière ligne multipliée par la dernière colonne donne 1+c
2
44 = 5, soit c 44 = 2.
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit