12
2
•
Matrices
CORRIGÉS DES EXERCICES
2.1 Premiers calculs
1. Inversion
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
12
0 ... 0
01
20
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
. . .0
12
0 ... ... 01
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
×
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 − 24... ( − 2)
j − 1
... ( − 2)
n − 1
01− 24
...
... ( − 2)
n − 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .0
1( − 2)
j − i
... ( − 2)
n − i
. . .
. . .
. . .
. . .
01
− 2
0
...
001
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= I .
2. Matrice triangulaireinversible
Si A = ( a i , j )est inversible et triangulaire supérieure, ses coefficients diagonaux sont non nuls.
Notons A
− 1
= B = ( b ij ). Puisque BA = I ,n ous avons
n
k = 1
b i , k a k , j = d ij .R emarquons que
puisque la matrice est triangulaire supérieure, a k , j = 0si k > j si bien que
j
k = 1
b i , k a k , j = d ij .
(2.1)
Nous allons montrer par récurrence sur j que b ij = 0si i > j et b jj = 1 / a jj .
Pour j = 1, (2.1) devient b i , 1 a 1 , 1 = d i 1 qui permet d’obtenir b i , 1 = 0si i = 1et b 1 , 1 = 1 / a 1 , 1 .
Supposons que pour j donné inférieur ou égal à n − 1etpour tout k j , b i , k = 0dès que i > k .
Pour i > j +1, b i , k = 0p our k = 1 ,..., j ,s ib ien que (2.1) b i , j +1 a j +1, j +1 = d ij+1 .C omme
a j +1, j +1 = 0, on en déduit que b i , j +1 = 0si i > j +1et b j +1, j +1 = 1 / a j +1, j +1 .
Ce qui achèveladémonstration.
3. Inverse d’une matrice et valeurs propres
Si l est une valeur propre de A de vecteur propre associé V ,alors AV = l V .Si A est inversible,
on multipliecette équation àgauche par A
− 1
,ilvient V = A
− 1
l V = l A
− 1
V .Puisque l est non
nul, on divise par l et on obtient que V est vecteur propre de A
− 1
pour la valeur propre 1 / l .