Corrigés desexercices
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6. Àchaque itération, déterminer X 1 tel que AX 1 = h
2
( F − sin X 0 ) − B où X 0 est l’ancienne
valeur i.e. V n et X 1 est la nouvelle valeur i.e. V n +1 ,évaluer l’erreur en norme infinie X 1 − X 0 ∞ ,
entre l’ancienne et la nouvelle valeur ;l es erreurs seront rangées dans un vecteur erriter à n 0
composantes. Remettre àjour : X 0 = X 1 .
10.3 Schéma de Numerov
1. On pourra commencer par des développementsd eT aylor àl ’ordre 6d e f ( x i − 1 ), f ( x i +1 ),
f
( x i − 1 )et f
( x i +1 ).
2. Reprendreles idées de l’exercice 10.2.
10.4É quation de convection-diffusion
4. Reprendreencore les idées de l’exercice 10.2.
CORRIGÉS DES EXERCICES
10.1 Flexion d’unepoutre
1. Sachant que c > 0, nous pouvons écrire c = v
2
,a vec v > 0. L’ensemble des solutions
de − u
+ cu = 0e st un espace vectoriel de dimension 2d ont les éléments sont de la forme
u ( x ) = l e
v x
+ m e
− v x
.S in ous cherchons une solution particulière de − u
+ cu = f sous la
forme u ( x ) = l ( x ) e
v x
,n ous obtenons l
( x )+2vl
( x ) = − e
− v x
f ( x ), équation différentielle
linéaire du premier ordre en l
.L es solutions de l
( x )+2vl
( x ) = 0s ont alors de la forme
l
( x ) = e
− 2 v x
m .E nc herchant une solution particulière sous la forme l
( x ) = e
− 2 v x
m ( x ),
il vient m
( x ) = − e
v x
f ( x )e tp ar exemple m ( x ) = −
x
0
e
v s
f ( s ) ds puisque f est continue.
On peut choisir l ( x ) = −
x
0
e
− 2 v t
t
0
e
v s
f ( s ) ds
dt et finalement la solution générale de
− u
+ cu = f est de la forme
u ( x ) = l e
v x
+ m e
− v x
− e
v x
x
0
e
− 2 v t
t
0
e
v s
f ( s ) ds
dt.
Les conditions aux bords u (0) = u (1) = 0donneront un système de 2équations linéaires à2
inconnues l et m :
⎧
⎨
⎩
l + m = 0
l e
v
+ m e
− v
= e
v
1
0
e
− 2 v t
t
0
e
v u
f ( u ) du
dt
dont le déterminant est non nul et qui admet alors une solution unique. Nous pouvons conclure
que ( P )admet une solution unique.
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit