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Équations différentielles, méthodes àunpas
Soitleproblème
( PT )
y
( t ) = f ( t , y ( t ) , y
( t )), t ∈ [0, 1]
y (0) = 1 , y (1) = a
(8.6)
La méthode de tir suppose que l’on sait résoudre un autre problème, de Cauchy,
( PC)
y
( t ) = f ( t , y ( t ) , y
( t ))
y (0) = 1 , y
(0) = v .
(8.7)
Pour tout v ,lasolution du problème de Cauchy (8.7) donne une valeur y v (1) = b .Onarésolu
le problème (8.6)lorsque b = a .Laméthode de tir est un algorithme pour déterminer v tel que
y v (1) = a .
➤ Cas de l’équation linéaire du second ordre
On note y 0 , y 1 , y 2 les solutions respectivesdes problèmes
( P 0 )
y
( t ) = 1 − 2 t cos t − y ( t )+ty
( t ) ,
y (0) = 1 , y (1) = a .
( P 1 )
y
( t ) = 1 − 2 t cos t − y ( t )+ty
( t ) ,
y (0) = 1 , y
(0) = 0 .
( P 2 )
y
( t ) = 1 − 2 t cos t − y ( t )+ty
( t ) ,
y (0) = 1 , y
(0) = 1 .
Montrer qu’il existe un l ∈ R tel que
y 0 = l y 1 +(1 − l ) y 2 .
➤ Programmation
On approche y i par u i pour i = 0 , 1o u2e t u 0 = ¯
l u 1 +(1 − ¯
l ) u 2 où ¯
l est choisi pour que
u 0 (1) = a .
1. Transformer les problèmes ( P i )e ns ystème du premier ordre et créer un fichier f.m où
Y
= f ( t , Y ).
2. Pour n ∈ N donné, on définit h =
1
n
et on subdivise régulièrement l’intervalle [0, 1] aux
points t j = jh.Programmer la méthode de tir,sous forme d’un programme prenant n et a comme
argument, et fournissant u 0 ( t j ), 0 j n .Pour cela, on pourra
– Calculer u 1 ( t j ), 1 j n et u 2 ( t j ), 1 j n au moyen de la méthode d’Euler,enutilisant un
sous programme eul.m,a ppel [t,U]=eul(fichier,n,eta,interv),o ù fichier contient
la fonction f , n est le nombre de subdivisions, eta la conditioninitiale et interv un vecteur à
2composantes, les 2bornes de l’intervalle d’intégration.
–C alculer ¯
l en utilisant la remarque précédente et regrouper les résultats pour obtenir u 0 .
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Équations différentielles, méthodes àunpas
Soitleproblème
( PT )
y
( t ) = f ( t , y ( t ) , y
( t )), t ∈ [0, 1]
y (0) = 1 , y (1) = a
(8.6)
La méthode de tir suppose que l’on sait résoudre un autre problème, de Cauchy,
( PC)
y
( t ) = f ( t , y ( t ) , y
( t ))
y (0) = 1 , y
(0) = v .
(8.7)
Pour tout v ,lasolution du problème de Cauchy (8.7) donne une valeur y v (1) = b .Onarésolu
le problème (8.6)lorsque b = a .Laméthode de tir est un algorithme pour déterminer v tel que
y v (1) = a .
➤ Cas de l’équation linéaire du second ordre
On note y 0 , y 1 , y 2 les solutions respectivesdes problèmes
( P 0 )
y
( t ) = 1 − 2 t cos t − y ( t )+ty
( t ) ,
y (0) = 1 , y (1) = a .
( P 1 )
y
( t ) = 1 − 2 t cos t − y ( t )+ty
( t ) ,
y (0) = 1 , y
(0) = 0 .
( P 2 )
y
( t ) = 1 − 2 t cos t − y ( t )+ty
( t ) ,
y (0) = 1 , y
(0) = 1 .
Montrer qu’il existe un l ∈ R tel que
y 0 = l y 1 +(1 − l ) y 2 .
➤ Programmation
On approche y i par u i pour i = 0 , 1o u2e t u 0 = ¯
l u 1 +(1 − ¯
l ) u 2 où ¯
l est choisi pour que
u 0 (1) = a .
1. Transformer les problèmes ( P i )e ns ystème du premier ordre et créer un fichier f.m où
Y
= f ( t , Y ).
2. Pour n ∈ N donné, on définit h =
1
n
et on subdivise régulièrement l’intervalle [0, 1] aux
points t j = jh.Programmer la méthode de tir,sous forme d’un programme prenant n et a comme
argument, et fournissant u 0 ( t j ), 0 j n .Pour cela, on pourra
– Calculer u 1 ( t j ), 1 j n et u 2 ( t j ), 1 j n au moyen de la méthode d’Euler,enutilisant un
sous programme eul.m,a ppel [t,U]=eul(fichier,n,eta,interv),o ù fichier contient
la fonction f , n est le nombre de subdivisions, eta la conditioninitiale et interv un vecteur à
2composantes, les 2bornes de l’intervalle d’intégration.
–C alculer ¯
l en utilisant la remarque précédente et regrouper les résultats pour obtenir u 0 .