276
Contents
2. Smoothness and liftings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3. Frobenius morphism and Cartier isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4. Derived categories and spectral sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5. Decomposition, degeneration and vanishing theorems in characteristic p . . 140
6. From characteristic p to characteristic zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7. Recent developments and open problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8. Appendix : parallelizability and ordinarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Variations of Hodge structures, Calabi-Yau manifolds and
mirror symmetry
by Jos´ e Bertin and Chris Peters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Part I. Variations of Hodge structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
1. Hodge bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
2. Gauss-Manin connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3. Variations of Hodge structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190
4. Degenerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5. Higgs bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6. Hodge modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Part II. Mirror symmetry and Calabi-Yau manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7. Introduction to mirror symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8. Cohomology of hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9. Picard-Fuchs equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10. Calabi-Yau manifolds and mirror symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11. Relation with mixed Hodge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Bibliography. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275