2. Cardinaux – Ensembles infinis
Démonstration. Les ensembles {f −1 (x)}, pour x ∈ F , forment une partition de l’ensemble E par des sous-ensembles dénombrables. On en déduit
donc que Card(E) Card(F )Card(N). D’après la remarque (2.2), on a
Card(F )Card(N) = Card(F ). L’application f étant surjective, Card(F )
Card(E), d’où le résultat.
Proposition 2.5. Si E est un ensemble infini, l’ensemble F(E) des parties finies de
E est équipotent à E.
Démonstration. L’application x → {x} est une application injective de E dans
F(E), on a donc Card(E) Card(F(E)). Pour tout entier n, notons F n (E)
l’ensemble des parties de E à n éléments. On a Card(F n (E)) Card(E n ) et
Card(E n ) = Card(E), d’après le théorème (2.3.(i)). Par conséquent,
Card(F(E)) =
n∈N
Card(F n (E)) Card(E)Card(N) = Card(E).
On en déduit que Card(F(E)) = Card(E).
Attention. Ce résultat est faux pour l’ensemble P(E) des parties quelconques
de E (cf. exercice ci-dessous).
Exercice .3. Soit E un ensemble.
1. Montrer que
Card(E) < card(P(E)).
(S’il existe une application bijective f : E −→ P(E), en considérant
A = {x ∈ E | x /
∈ f (x)} et a ∈ A tel que f (a) = A, déduire une contradiction.)
2. Montrer que Card(P(E)) = 2 Card(E) . (Considérer A = {0, 1}, f une application de X dans A : alors f → f −1 ({0}) est un application bijective de l’ensemble
A E sur P(E).)
Remarque 2.3. On peut démontrer que Card(P(N)) = Card(R) (cf. [1]). Le cardinal de R, qui est donc strictement supérieur au cardinal de N, s’appelle la
puissance du continu. Le problème suivant :
Toute partie infinie de R est-elle équipotente à N ou à R ?
est appelée hypothèse du continu. Il a été démontré que cette question est indécidable, c’est-à-dire que les axiomes de la théorie des ensembles ne permettent
pas de démontrer que cette assertion est vraie ou qu’elle est fausse. Autrement
dit, cela signifie qu’on peut ajouter aux axiomes de la théorie des ensembles l’hypothèse du continu, ou sa négation, sans aboutir à des contradictions.
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Démonstration. Les ensembles {f −1 (x)}, pour x ∈ F , forment une partition de l’ensemble E par des sous-ensembles dénombrables. On en déduit
donc que Card(E) Card(F )Card(N). D’après la remarque (2.2), on a
Card(F )Card(N) = Card(F ). L’application f étant surjective, Card(F )
Card(E), d’où le résultat.
Proposition 2.5. Si E est un ensemble infini, l’ensemble F(E) des parties finies de
E est équipotent à E.
Démonstration. L’application x → {x} est une application injective de E dans
F(E), on a donc Card(E) Card(F(E)). Pour tout entier n, notons F n (E)
l’ensemble des parties de E à n éléments. On a Card(F n (E)) Card(E n ) et
Card(E n ) = Card(E), d’après le théorème (2.3.(i)). Par conséquent,
Card(F(E)) =
n∈N
Card(F n (E)) Card(E)Card(N) = Card(E).
On en déduit que Card(F(E)) = Card(E).
Attention. Ce résultat est faux pour l’ensemble P(E) des parties quelconques
de E (cf. exercice ci-dessous).
Exercice .3. Soit E un ensemble.
1. Montrer que
Card(E) < card(P(E)).
(S’il existe une application bijective f : E −→ P(E), en considérant
A = {x ∈ E | x /
∈ f (x)} et a ∈ A tel que f (a) = A, déduire une contradiction.)
2. Montrer que Card(P(E)) = 2 Card(E) . (Considérer A = {0, 1}, f une application de X dans A : alors f → f −1 ({0}) est un application bijective de l’ensemble
A E sur P(E).)
Remarque 2.3. On peut démontrer que Card(P(N)) = Card(R) (cf. [1]). Le cardinal de R, qui est donc strictement supérieur au cardinal de N, s’appelle la
puissance du continu. Le problème suivant :
Toute partie infinie de R est-elle équipotente à N ou à R ?
est appelée hypothèse du continu. Il a été démontré que cette question est indécidable, c’est-à-dire que les axiomes de la théorie des ensembles ne permettent
pas de démontrer que cette assertion est vraie ou qu’elle est fausse. Autrement
dit, cela signifie qu’on peut ajouter aux axiomes de la théorie des ensembles l’hypothèse du continu, ou sa négation, sans aboutir à des contradictions.
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