Algèbre T1
Les ensembles apparaissant dans le second membre sont deux à deux disjoints et,
puisque Y et Z sont équipotents, on a
Card(Y × Z) = Card(Z × Z) = b
2 = b,
d’où
Card((Y × Z) ∪ (Z × Y ) ∪ (Z × Z)) = 3b = b.
Il existe donc un application bijective k de Z sur (Y × Z) ∪ (Z × Y ) ∪ (Z × Z).
L’application égale à h sur Y et à k sur Z est une bijection de T sur T × T
qui prolonge h, ce qui est contraire au caractère maximal du couple (Y, h). Par
conséquent, b = a, ce qui prouve le théorème.
Corollaire 2.1.
(i) Si a est un cardinal infini, pour tout entier n 1, on a a n = a.
(ii) Le produit d’une famille finie de cardinaux non nuls, dont le plus grand a
est infini, est égal à a.
(iii) Soient a un cardinal infini, I un ensemble de cardinal inférieur ou égal
à a, (a i ) i∈I une famille de cardinaux inférieurs ou égaux à a. Alors,
i∈I a i a.
Si de plus, a i = a pour un indice i, alors
i∈I a i = a.
(iv) Soient a et b deux cardinaux non nuls dont l’un au moins est infini, alors
ab = a + b = sup(a, b).
Théorème 2.3.
(i) Tout produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable.
(ii) Soient I un ensemble dénombrable et, pour tout i ∈ I, E i un ensemble
dénombrable. Alors
i∈I E i est un ensemble dénombrable.
Démonstration. Ce sont des conséquences immédiates du corollaire (2.1).
Remarque 2.2. On déduit immédiatement de la proposition (2.2) et du corollaire (2.1.(iv)), que si E est un ensemble infini, Card(E) = Card(E)Card(N).
Proposition 2.4. Si f est une application surjective d’un ensemble E sur un ensemble infini F telle que, pour tout élément x de F , l’ensemble {f −1 (x)} est
dénombrable, alors les ensembles E et F sont équipotents.
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Les ensembles apparaissant dans le second membre sont deux à deux disjoints et,
puisque Y et Z sont équipotents, on a
Card(Y × Z) = Card(Z × Z) = b
2 = b,
d’où
Card((Y × Z) ∪ (Z × Y ) ∪ (Z × Z)) = 3b = b.
Il existe donc un application bijective k de Z sur (Y × Z) ∪ (Z × Y ) ∪ (Z × Z).
L’application égale à h sur Y et à k sur Z est une bijection de T sur T × T
qui prolonge h, ce qui est contraire au caractère maximal du couple (Y, h). Par
conséquent, b = a, ce qui prouve le théorème.
Corollaire 2.1.
(i) Si a est un cardinal infini, pour tout entier n 1, on a a n = a.
(ii) Le produit d’une famille finie de cardinaux non nuls, dont le plus grand a
est infini, est égal à a.
(iii) Soient a un cardinal infini, I un ensemble de cardinal inférieur ou égal
à a, (a i ) i∈I une famille de cardinaux inférieurs ou égaux à a. Alors,
i∈I a i a.
Si de plus, a i = a pour un indice i, alors
i∈I a i = a.
(iv) Soient a et b deux cardinaux non nuls dont l’un au moins est infini, alors
ab = a + b = sup(a, b).
Théorème 2.3.
(i) Tout produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable.
(ii) Soient I un ensemble dénombrable et, pour tout i ∈ I, E i un ensemble
dénombrable. Alors
i∈I E i est un ensemble dénombrable.
Démonstration. Ce sont des conséquences immédiates du corollaire (2.1).
Remarque 2.2. On déduit immédiatement de la proposition (2.2) et du corollaire (2.1.(iv)), que si E est un ensemble infini, Card(E) = Card(E)Card(N).
Proposition 2.4. Si f est une application surjective d’un ensemble E sur un ensemble infini F telle que, pour tout élément x de F , l’ensemble {f −1 (x)} est
dénombrable, alors les ensembles E et F sont équipotents.
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