Travaux pratiques
Revenons au calcul du groupe de Galois : lorsque R
{2}
P est sans facteur multiple,
la formule (XVI.2) montre que les facteurs de R
{2}
P
dans la décomposition en
irréductibles sur Q correspondent aux différentes orbites de l’action du groupe
Gal(P ) sur Ω {2} . Ainsi la liste ordonnée L
{2}
P des degrés de ces facteurs est ce que
Maple appelle « orbit-length partition of 2-sets ». Dans le second cas, la liste
L
[2]
P ordonnée des degrés des facteurs irréductibles dans Q[x] de R
[2]
P correspond
au terme « orbit-length partition of 2-sequences ». La formule (XVI.1) montre
qu’il s’agit bien, lorsque R
[2]
P est sans facteur multiple, des cardinaux des orbites
de l’action du groupe Gal(P ) sur Ω [2] . En particulier, R
[2]
P est irréductible si et
seulement si Gal(P ) agit 2-transitivement.
La méthode consiste à comparer L
{2}
P et L
[2]
P aux résultats que l’on obtient en
faisant agir les différents groupes sur Ω {2} et Ω [2] .
14. D’une part, écrire des procédures RP2a, RP2b, testa, testb calculant respectivement, pour P donné, R
{2}
P
et R
[2]
P (à l’aide des formules (XVI.3)
et (XVI.4)), L
{2}
P et L
[2]
P .
D’autre part, reprendre les procédures orbite et orbite2G du TP.IV.B et
écrire des procédures orbite2a et orbite2b calculant, pour un groupe de permutations G défini par une commande permgroup, la liste ordonnée des cardinaux des orbites pour l’action de G sur Ω {2} et Ω [2] respectivement. Appliquer
ces procédures à la liste habituelle des dix groupes.
Finalement, utiliser cette méthode pour décider des cas (en degrés 4 et 5) non
tranchés par les méthodes modulaires. Bien entendu, on appliquera une transformation de Tschirnhausen lorsqu’une résolvante possède un facteur multiple.
Peut-on conclure dans tous les cas ? Noter par exemple que Maple n’emploie
pas cette méthode pour calculer Gal(x 5 + 2).
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