Algèbre T1
des algorithmes efficaces jusqu’en degré 7 inclus. Ce ne sont pas ceux qu’utilise
Maple.
Nous venons d’expliquer les lignes :
galois/special5:
Calculating a S5/F20 resolvent...
galois/special5:
Factoring this S5/F20 resolvent...
Il reste à expliquer les phrases suivantes dans le dialogue de Maple :
galois/respol:
Using the orbit-length partition of 2-sequences.
galois/respol:
Calculating a resolvent polynomial...
galois/respol:
Factoring the resolvent polynomial...
galois/respol:
Orbit-length partition is
4, 4, 4
Soit Ω = {1, . . . , n}, Ω {k} l’ensemble des sous-ensembles à k éléments de Ω
et Ω [k] l’ensemble des listes ordonnées de k éléments de Ω. Après choix d’une
numérotation des n racines distinctes, le groupe de Galois Gal(P ) agit sur ces
trois ensembles. On pose
R
{k}
P = Resolv x 1 +...+x k ;P et R
[k]
P = Resolv x 1 +2x 2 +...+kx k ;P .
Ce sont deux cas particuliers de résolvantes linéaires.
On va calculer ces dernières pour k = 2. Noter que R
[2]
P est une H-résolvante,
où le stabilisateur H de x 1 + 2x 2 est S n−2 identifié aux permutations laissant fixe
1 et 2. On en déduit
R
[2]
P =
i,j
(x − α i − α j ).
(XVI.1)
De même, R
{2}
P est une H-résolvante, où H = S n−2 ∪ (1 2)S n−2 . On en déduit
R
{2}
P =
i (x − α i − α j )
(XVI.2)
(les classes S n /H sont représentées par des éléments σ tels que σ(1) = i et σ(2) = j
avec i < j).
On utilise alors la propriété suivante des résultants (voir TR.VIII.C) :
si P =
i (x−α i ) et Q =
i (x−β i ), alors
i,j (x−α i −β j ) = Res y (P (y), Q(x−y)).
On en déduit :
2
deg(P ) P
x
2
R
{2}
P
2
= Res y (P (y), P (x − y))
(XVI.3)
3
deg(P ) P
x
3
R
[2]
P = Res y
P (y), 2
deg(P ) P
x − y
2
.
(XVI.4)
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