À propos de la couverture :
Le groupe de Galois de l’équation x
4 − 2 = 0 est le groupe de Galois G = Gal(K/Q) du
corps K = Q(i,
4
√ 2) engendré sur Q par les racines complexes ±
4
√ 2, ±i
4
√ 2 du polynôme x
4 − 2.
Il existe un élément σ de G défini par σ(i) = i et σ(
4
√ 2) = i
4
√ 2 et un élément τ défini par
τ (i) = −i et τ (
4
√ 2) =
4
√ 2. Ces deux éléments engendrant G, on voit que le groupe de Galois est
isomorphe au groupe diédral D4 des isométries du carré.
Les sous-corps de K correspondent aux sous-groupes de G par la correspondance de Galois :
par exemple, à H = σ correspond le sous-corps Q(i) des invariants de K sous l’action de H. On
peut représenter les inclusions entre les groupes et les extensions de corps par les diagrammes
ci-dessous, où chaque flèche représente une inclusion.
K = Q(i,
4
√ 2)
Q(i
4
√ 2)
4 4
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Q(
4
√ 2)
8 8
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
Q(i,
√ 2)
O O
Q((1 + i)
4
√ 2)
g g P P P P P P P P P P P P
Q((1 − i)
4
√ 2)
k k W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W
Q(
√ 2)
d d I I I I I I I I I
O O
8 8
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
Q(i)
O O
Q(i
√ 2)
7 7
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
O O
g g P P P P P P P P P P P P
Q
f f N N N N N N N N N N N N
O O
6 6
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
D4 = σ, τ
σ
2 , τ
9 9
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
σ Z/4Z
O O
σ
2 , στ
f f M M M M M M M M M M
σ
2 τ
; ;
w
w
w
w
w
w
w
w
w
τ
O O
σ
2
e e L L L L L L L L L L
O O
8 8
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
στ
O O
σ
3 τ
d d I I I I I I I I I
{e}
4 4
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
8 8
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
O O
e e L L L L L L L L L L L L
j j U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U
Cette correspondance renverse le sens des inclusions, donc celui des flèches. On peut se
représenter les deux diagrammes comme deux arbres qui seraient reflet l’un de l’autre, dans
l’esprit de la gravure « les 3 mondes » d’Escher. L’équation x
4 − 2 = 0 est le trait d’union entre
le monde des groupes et celui des corps. Peut-être le troisième monde est-il celui de l’esprit du
mathématicien dont l’inspiration et la raison ont fait naître les concepts, en se heurtant aux
contingences de l’univers mathématique ?
Le groupe de Galois est le groupe des relations rationnelles entre les racines, par rapport
au corps de base Q. Il est trivial lorsque toutes les racines sont différenciées sur la base. Faire
une extension, par exemple adjoindre le nombre imaginaire i, permet de regrouper les racines en
catégories, selon qu’elles sont invariantes sous σ ou pas. C’est l’idée qui a guidé Galois lors de
l’élaboration de son traité sur la résolution des équations : briser progressivement les symétries
entre les racines. Ces travaux ont permis de faire émerger les structures contemporaines de
groupe et de corps.