Travaux pratiques
En effet, on commence par montrer que f et g ont un facteur commun non
constant si et seulement s’il existe u et v dans A[x], avec deg(u) < deg(g) et
deg(v) < deg(f ), tels que uf + vg = 0. Dans ce cas, φ f,g n’est pas injective, donc
son déterminant est nul ; la réciproque résulte de la proposition précédente.
Le résultant vérifie les propriétés suivantes, qui le caractérisent :
(a) Res(g, f ) = (−1) mn Res(f, g).
(b) Si f et g sont non constants et r est le reste de la division euclidienne de f
par g, alors Res(f, g) = (−1) mn b
m−deg(r)
n
Res(g, r).
(c) Si g = b ∈ A alors Res(f, g) = b m (en particulier, Res(0, b) = 0, Res(a, b) = 1
si a, b ∈ A \ {0}).
On a également, notant f = a m
m
i=1 (x − r i ) et g = b n
n
i=1 (x − s i ) (dans un
corps de décomposition contenant les racines r i et s i ) :
Res(f, g) = a
n
m b
m
n
i,j
(r i − s j ).
(2)
C’est d’ailleurs ainsi que le résultant a été défini au TR.VIII.C.
Nous allons vérifier formellement, pour des petits degrés, les propriétés (a),
(b) et (c), écrire un algorithme de calcul du déterminant basé sur ces propriétés
(c’est ainsi qu’il est implémenté dans Maple, car cette méthode est bien meilleure
que le calcul d’un déterminant). Enfin, nous expliquerons comment démontrer la
formule (2) en travaillant dans le corps des séries formelles K(r i , s j ) (où K désigne
le corps des fractions de A), ce qui se prête encore à des vérifications à l’aide du
système de calcul formel.
☞ Quelques remarques concernant la simplification des expressions sous
Maple : La fonction normal permet de comparer deux expressions symboliques
en les indéterminées x 1 , . . . , x r via la « représentation normale des expressions
rationnelles ». Lorsque f ∈ Q(x 1 , . . . , x r ), la commande normal(f) renvoie un
quotient de deux polynômes premiers entre eux (on divise par le pgcd dans l’anneau factoriel Q[x 1 , . . . , x r ]) et trie les monômes selon un ordre spécifique. L’ordre
de Maple est un peu surprenant au premier abord ; on peut demander l’ordre
du degré lexicographique en appliquant par la suite la commande ord. Le degré
total en les x i s’obtient par degree(P,{seq(x[i],i=1..n)}).
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En effet, on commence par montrer que f et g ont un facteur commun non
constant si et seulement s’il existe u et v dans A[x], avec deg(u) < deg(g) et
deg(v) < deg(f ), tels que uf + vg = 0. Dans ce cas, φ f,g n’est pas injective, donc
son déterminant est nul ; la réciproque résulte de la proposition précédente.
Le résultant vérifie les propriétés suivantes, qui le caractérisent :
(a) Res(g, f ) = (−1) mn Res(f, g).
(b) Si f et g sont non constants et r est le reste de la division euclidienne de f
par g, alors Res(f, g) = (−1) mn b
m−deg(r)
n
Res(g, r).
(c) Si g = b ∈ A alors Res(f, g) = b m (en particulier, Res(0, b) = 0, Res(a, b) = 1
si a, b ∈ A \ {0}).
On a également, notant f = a m
m
i=1 (x − r i ) et g = b n
n
i=1 (x − s i ) (dans un
corps de décomposition contenant les racines r i et s i ) :
Res(f, g) = a
n
m b
m
n
i,j
(r i − s j ).
(2)
C’est d’ailleurs ainsi que le résultant a été défini au TR.VIII.C.
Nous allons vérifier formellement, pour des petits degrés, les propriétés (a),
(b) et (c), écrire un algorithme de calcul du déterminant basé sur ces propriétés
(c’est ainsi qu’il est implémenté dans Maple, car cette méthode est bien meilleure
que le calcul d’un déterminant). Enfin, nous expliquerons comment démontrer la
formule (2) en travaillant dans le corps des séries formelles K(r i , s j ) (où K désigne
le corps des fractions de A), ce qui se prête encore à des vérifications à l’aide du
système de calcul formel.
☞ Quelques remarques concernant la simplification des expressions sous
Maple : La fonction normal permet de comparer deux expressions symboliques
en les indéterminées x 1 , . . . , x r via la « représentation normale des expressions
rationnelles ». Lorsque f ∈ Q(x 1 , . . . , x r ), la commande normal(f) renvoie un
quotient de deux polynômes premiers entre eux (on divise par le pgcd dans l’anneau factoriel Q[x 1 , . . . , x r ]) et trie les monômes selon un ordre spécifique. L’ordre
de Maple est un peu surprenant au premier abord ; on peut demander l’ordre
du degré lexicographique en appliquant par la suite la commande ord. Le degré
total en les x i s’obtient par degree(P,{seq(x[i],i=1..n)}).
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