Algèbre T1
Si f =
m
i=0 a i x i et g =
n
i=0 b i x i sont deux éléments de A[x], on peut définir
le résultant Res(f, g) comme le déterminant de la matrice de Sylvester
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a m
. . .
a 1 a 0
a m
. . .
a 1 a 0
. . .
. . .
. . .
a m
. . .
a 1 a 0
b n
. . . . . .
b 1 b 0
. . .
. . .
. . .
b n
. . . . . .
b 1 b 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
où les n premières lignes correspondent à f et les m suivantes à g : c’est donc une
matrice de M mn (Q). On l’obtient en Maple comme suit (pour des polynômes
« généraux ») :
>sylvester:=proc(m,n) local f,g;
f:=add(a[i]*x^i,i=0..m); g:=add(b[i]*x^i,i=0..m);
return(LinearAlgebra[SylvesterMatrix](f,g,x));
end;
La matrice de Sylvester est, à la transposée près (ce qui ne change pas le
déterminant), la matrice de l’application linéaire φ f,g : (u, v) → uf + vg de
A[x] n × A[x] m dans A[x] m+n , par rapport aux bases
((x
n−1 , 0), . . . , (1, 0), (0, x
m−1 ), . . . , (0, 1)) et (x
m+n−1 , . . . , 1).
Utilisant la relation det(S) Id = ST , où T est la transposée de la comatrice
de S, appliquée à la matrice de Sylvester S, puis en multipliant par le vecteur
correspondant à 1 ∈ A[x] m+n , on voit que Res(f, g) appartient à l’image de φ f,g .
Cela démontre :
Proposition 1. Si f et g sont deux polynômes non constants, il existe u et v dans
A[x] avec deg(u) < deg(g) et deg(v) < deg(f ) tels que uf + vg = Res(f, g).
On en déduit :
Proposition 2. Si A est un anneau principal et si f et g sont deux polynômes non
constants de A[x], alors f et g ont un facteur commun non constant dans A[x] si
seulement si Res(f, g) = 0.
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