Travaux pratiques
3. De donner une base échelonnée (canonique) d’un sous-espace vectoriel, connaissant un système générateur C 1 , . . . , C n : on applique l’algorithme de GaussJordan à la transposée de la matrice A dont les colonnes sont les C i . Cela revient
à effectuer les opérations élémentaires sur les colonnes au lieu des lignes : ainsi
A t P = t A est sous forme normale échelonnée par colonne.
On suppose que A est toujours la matrice de la première question ; quelle base
échelonnée obtenez-vous ? Comparer au résultat obtenu avec le système de
vecteurs C
1 =
2
1
−3
−3
−3
, C
2 =
2
5
−3
9
3
, C
3 =
−2
7
3
27
15
. Qu’en concluez-vous ?
4. Soit φ : Q n → Q m une application linéaire et A = Mat bc,bc (φ) sa matrice
par rapport aux bases canoniques de Q n et Q m ; comment interprétez-vous
les matrices A = ReducedRowEchelonForm(A) et P ? Même question pour
A = Transpose(ReducedRowEchelonForm(Transpose(A)) et Q, où A = AQ.
En supposant que A est la matrice de la première question, déterminer une
base de Ker φ et Im φ. On donnera deux méthodes : l’une utilisant la matrice
A , l’autre la matrice A . Comparer avec les résultats obtenus à l’aide des
commandes Maple ColSpace et NullSpace. D’après vous, quels algorithmes
se cachent derrière ces dernières commandes ?
Algorithme de Hermite
On dit qu’une matrice A ∈ M m,n (Z) est sous forme normale de Hermite
(abrégé FNH) si elle s’écrit :
A
=
⎛
⎜
⎜
⎝
0 ... 0 p 1 ∗ ... ∗ + ∗ ... ∗ +
p 2 ∗ ... ∗ +
p 3 ...
... + ∗
∗
pr ∗ ... ∗
0 . . .
0
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Le premier coefficient non nul de chaque ligne est appelé pivot ; le pivot p i > 0
de la ligne i se trouve à droite du pivot p i−1 ; enfin, dans chaque colonne contenant
un pivot p i , les coefficients (représentés par un symbole +) sont positifs ou nuls
et strictement inférieurs à p i .
L’algorithme de Hermite permet de réduire une matrice A ∈ M m,n (Z) donnée
sous FNH, par des opérations élémentaires sur les lignes. Avec les notations de
la première partie, on a λ = −1 et a ∈ Z, de sorte que les matrices élémentaires
correspondantes sont dans GL m (Z).
Tout d’abord, on note δ(x) = |x|, x ∈ Z, et δ i 0 ,j (A) = min ii 0 ,A i,j =0 δ(A i,j )
(avec la convention δ i 0 ,j (A) = 0 si A i,j = 0 pout tout i i 0 ). Soit i 0 = 1 et soit
j 0 le plus petit entier tel que δ i 0 ,j 0 (A) = 0 ; on effectue dans l’ordre :
163
3. De donner une base échelonnée (canonique) d’un sous-espace vectoriel, connaissant un système générateur C 1 , . . . , C n : on applique l’algorithme de GaussJordan à la transposée de la matrice A dont les colonnes sont les C i . Cela revient
à effectuer les opérations élémentaires sur les colonnes au lieu des lignes : ainsi
A t P = t A est sous forme normale échelonnée par colonne.
On suppose que A est toujours la matrice de la première question ; quelle base
échelonnée obtenez-vous ? Comparer au résultat obtenu avec le système de
vecteurs C
1 =
2
1
−3
−3
−3
, C
2 =
2
5
−3
9
3
, C
3 =
−2
7
3
27
15
. Qu’en concluez-vous ?
4. Soit φ : Q n → Q m une application linéaire et A = Mat bc,bc (φ) sa matrice
par rapport aux bases canoniques de Q n et Q m ; comment interprétez-vous
les matrices A = ReducedRowEchelonForm(A) et P ? Même question pour
A = Transpose(ReducedRowEchelonForm(Transpose(A)) et Q, où A = AQ.
En supposant que A est la matrice de la première question, déterminer une
base de Ker φ et Im φ. On donnera deux méthodes : l’une utilisant la matrice
A , l’autre la matrice A . Comparer avec les résultats obtenus à l’aide des
commandes Maple ColSpace et NullSpace. D’après vous, quels algorithmes
se cachent derrière ces dernières commandes ?
Algorithme de Hermite
On dit qu’une matrice A ∈ M m,n (Z) est sous forme normale de Hermite
(abrégé FNH) si elle s’écrit :
A
=
⎛
⎜
⎜
⎝
0 ... 0 p 1 ∗ ... ∗ + ∗ ... ∗ +
p 2 ∗ ... ∗ +
p 3 ...
... + ∗
∗
pr ∗ ... ∗
0 . . .
0
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Le premier coefficient non nul de chaque ligne est appelé pivot ; le pivot p i > 0
de la ligne i se trouve à droite du pivot p i−1 ; enfin, dans chaque colonne contenant
un pivot p i , les coefficients (représentés par un symbole +) sont positifs ou nuls
et strictement inférieurs à p i .
L’algorithme de Hermite permet de réduire une matrice A ∈ M m,n (Z) donnée
sous FNH, par des opérations élémentaires sur les lignes. Avec les notations de
la première partie, on a λ = −1 et a ∈ Z, de sorte que les matrices élémentaires
correspondantes sont dans GL m (Z).
Tout d’abord, on note δ(x) = |x|, x ∈ Z, et δ i 0 ,j (A) = min ii 0 ,A i,j =0 δ(A i,j )
(avec la convention δ i 0 ,j (A) = 0 si A i,j = 0 pout tout i i 0 ). Soit i 0 = 1 et soit
j 0 le plus petit entier tel que δ i 0 ,j 0 (A) = 0 ; on effectue dans l’ordre :
163