Algèbre T1
Le premier coefficient non nul de chaque ligne est appelé pivot ; il est toujours
égal à 1.
D’autre part, on rappelle que les opérations élémentaires sur les lignes sont
de trois types :
– L i ↔ L j (permutation de deux lignes) ;
– L i ← λL i (λ ∈ Q × ) ;
– L i ← L i + aL j (a ∈ Q).
L’algorithme de Gauss-Jordan que vous connaissez bien permet, par opérations élémentaires sur les lignes, de mettre une matrice A ∈ M m,n (Q) sous FNEL.
Autrement dit, on peut écrire A = P A, où A est de la forme précédente et
P ∈ GL n (Q) est le produit des matrices élémentaires correspondant aux opérations élémentaires appliquées successivement. On trouve ces matrices élémentaires
en appliquant à la matrice identité I n l’opération élémentaire en question : par
exemple, L i ← L i + aL j correspond à la matrice I n + aE i,j (où E i,j désigne la matrice dont tous les coefficients sont nuls, à l’exception de celui en position (i, j),
qui vaut 1). L’écriture A = P −1 A est-elle unique ? Il y a unicité de la matrice
A (si A
1 = QA
2 , où A
1 et A
2 sont sous FNEL et Q est inversible, démontrer
que A
1 = A
2 ) mais pas de la matrice P (on peut avoir Q = Id dans l’égalité
A
1 = QA
2 , même si A
1 = A
2 ).
☞ Quelques commandes Maple utiles :
Matrix, SubMatrix, IdentityMatrix, Transpose et ReducedRowEchelonForm
de la librairie LinearAlgebra, la dernière fonction étant l’implémentation de l’algorithme de Gauss-Jordan.
Cet algorithme permet :
1. De résoudre un système d’équations linéaires : soit A =
−2 −4 2 −2
−1 −2 3 3
3 6 −3 3
3 6 3 15
3 6 0 9
et
B =
−2
1
3
9
6
; résoudre AX = 0 et AX = B à l’aide de la commande
Maple ReducedRowEchelonForm. Comparer avec le résultat de la commande
LinearSolve.
2. D’extraire d’un système de vecteurs (C 1 , . . . , C n ) de Q m une base du
sous-espace vectoriel qu’ils engendrent : soit A la matrice dont les colonnes sont les C i et soit I l’ensemble des indices des colonnes de
A = ReducedRowEchelonForm(A) contenant un pivot. Démontrer que (C i ) i∈I
constitue une base de Vect(C 1 , . . . , C n ).
Si A est la matrice de la première question, qu’obtenez-vous ?
162
Le premier coefficient non nul de chaque ligne est appelé pivot ; il est toujours
égal à 1.
D’autre part, on rappelle que les opérations élémentaires sur les lignes sont
de trois types :
– L i ↔ L j (permutation de deux lignes) ;
– L i ← λL i (λ ∈ Q × ) ;
– L i ← L i + aL j (a ∈ Q).
L’algorithme de Gauss-Jordan que vous connaissez bien permet, par opérations élémentaires sur les lignes, de mettre une matrice A ∈ M m,n (Q) sous FNEL.
Autrement dit, on peut écrire A = P A, où A est de la forme précédente et
P ∈ GL n (Q) est le produit des matrices élémentaires correspondant aux opérations élémentaires appliquées successivement. On trouve ces matrices élémentaires
en appliquant à la matrice identité I n l’opération élémentaire en question : par
exemple, L i ← L i + aL j correspond à la matrice I n + aE i,j (où E i,j désigne la matrice dont tous les coefficients sont nuls, à l’exception de celui en position (i, j),
qui vaut 1). L’écriture A = P −1 A est-elle unique ? Il y a unicité de la matrice
A (si A
1 = QA
2 , où A
1 et A
2 sont sous FNEL et Q est inversible, démontrer
que A
1 = A
2 ) mais pas de la matrice P (on peut avoir Q = Id dans l’égalité
A
1 = QA
2 , même si A
1 = A
2 ).
☞ Quelques commandes Maple utiles :
Matrix, SubMatrix, IdentityMatrix, Transpose et ReducedRowEchelonForm
de la librairie LinearAlgebra, la dernière fonction étant l’implémentation de l’algorithme de Gauss-Jordan.
Cet algorithme permet :
1. De résoudre un système d’équations linéaires : soit A =
−2 −4 2 −2
−1 −2 3 3
3 6 −3 3
3 6 3 15
3 6 0 9
et
B =
−2
1
3
9
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; résoudre AX = 0 et AX = B à l’aide de la commande
Maple ReducedRowEchelonForm. Comparer avec le résultat de la commande
LinearSolve.
2. D’extraire d’un système de vecteurs (C 1 , . . . , C n ) de Q m une base du
sous-espace vectoriel qu’ils engendrent : soit A la matrice dont les colonnes sont les C i et soit I l’ensemble des indices des colonnes de
A = ReducedRowEchelonForm(A) contenant un pivot. Démontrer que (C i ) i∈I
constitue une base de Vect(C 1 , . . . , C n ).
Si A est la matrice de la première question, qu’obtenez-vous ?
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