VI.2. Groupes abéliens libres
On remarquera que si G et H sont des groupes libres de rangs finis respectifs
p et q, alors G
H est un groupe libre de rang p + q.
C - Sous-groupes d’un groupe abélien libre
Nous avons admis au chapitre III qu’un sous-groupe d’un groupe libre est un
groupe libre. Nous allons ici montrer que ce résultat est également vrai dans le
cadre des groupes abéliens.
Attention. Notons A la classe des groupes abéliens et G celle des groupes. Il est
évident que A est contenue dans G. Cependant, un groupe abélien libre G n’est
pas un groupe libre lorsqu’on le considère dans G. Il suffit pour s’en convaincre
de remarquer que si X est un ensemble ayant au moins deux éléments distincts,
le groupe abélien libre de base X est abélien par définition, alors que le groupe
libre de base X n’est pas abélien (cf. remarque III.1.1.b). Par conséquent, le fait
qu’un sous-groupe d’un groupe libre soit un groupe libre n’implique pas qu’il en
soit de même pour les groupes abéliens.
Théorème VI.2.5. Tout sous-groupe d’un groupe abélien libre est un groupe abélien
libre.
Démonstration. Nous allons donner d’abord une démonstration élémentaire dans
le cas du rang fini, qui permet de préciser que le rang du sous-groupe est inférieur
ou égal au rang du groupe ; le cas infini nécessite une démonstration plus élaborée.
Le groupe réduit à l’élément neutre étant libre de base l’ensemble vide, dans
la suite on ne considérera que des sous-groupes non triviaux.
(VI.2.5.1). Supposons que G soit un groupe abélien libre de rang fini n ; nous
allons faire un raisonnement par récurrence sur n.
Si n = 1, le groupe G est isomorphe à Z. Tout sous-groupe de G est donc
isomorphe à un kZ, donc à Z et, par conséquent, est un groupe abélien libre de
rang 1.
Supposons le résultat vrai pour les groupes abéliens libres de rang r n − 1
et soit G un groupe libre de rang n. Alors G est isomorphe à Z n ; considérons le
morphisme de groupes p : Z n → Z défini par p((x 1 , . . . , x n )) = x n . Il est clair
que Ker(p) = {(x 1 , . . . , x n−1 , 0)|x i ∈ Z} est un groupe isomorphe à Z n−1 , donc
libre de rang n − 1. Tout sous-groupe de G est isomorphe à un sous-groupe H de
Z n . On a p(H) = aZ ; si a = 0, alors H est contenu dans Ker(p) et le résultat
découle de l’hypothèse de récurrence. Si a = 0, p(H) est un sous-groupe de Z,
donc libre, et le morphisme H → p(H) est surjectif et a pour noyau H ∩ Z n−1 ,
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On remarquera que si G et H sont des groupes libres de rangs finis respectifs
p et q, alors G
H est un groupe libre de rang p + q.
C - Sous-groupes d’un groupe abélien libre
Nous avons admis au chapitre III qu’un sous-groupe d’un groupe libre est un
groupe libre. Nous allons ici montrer que ce résultat est également vrai dans le
cadre des groupes abéliens.
Attention. Notons A la classe des groupes abéliens et G celle des groupes. Il est
évident que A est contenue dans G. Cependant, un groupe abélien libre G n’est
pas un groupe libre lorsqu’on le considère dans G. Il suffit pour s’en convaincre
de remarquer que si X est un ensemble ayant au moins deux éléments distincts,
le groupe abélien libre de base X est abélien par définition, alors que le groupe
libre de base X n’est pas abélien (cf. remarque III.1.1.b). Par conséquent, le fait
qu’un sous-groupe d’un groupe libre soit un groupe libre n’implique pas qu’il en
soit de même pour les groupes abéliens.
Théorème VI.2.5. Tout sous-groupe d’un groupe abélien libre est un groupe abélien
libre.
Démonstration. Nous allons donner d’abord une démonstration élémentaire dans
le cas du rang fini, qui permet de préciser que le rang du sous-groupe est inférieur
ou égal au rang du groupe ; le cas infini nécessite une démonstration plus élaborée.
Le groupe réduit à l’élément neutre étant libre de base l’ensemble vide, dans
la suite on ne considérera que des sous-groupes non triviaux.
(VI.2.5.1). Supposons que G soit un groupe abélien libre de rang fini n ; nous
allons faire un raisonnement par récurrence sur n.
Si n = 1, le groupe G est isomorphe à Z. Tout sous-groupe de G est donc
isomorphe à un kZ, donc à Z et, par conséquent, est un groupe abélien libre de
rang 1.
Supposons le résultat vrai pour les groupes abéliens libres de rang r n − 1
et soit G un groupe libre de rang n. Alors G est isomorphe à Z n ; considérons le
morphisme de groupes p : Z n → Z défini par p((x 1 , . . . , x n )) = x n . Il est clair
que Ker(p) = {(x 1 , . . . , x n−1 , 0)|x i ∈ Z} est un groupe isomorphe à Z n−1 , donc
libre de rang n − 1. Tout sous-groupe de G est isomorphe à un sous-groupe H de
Z n . On a p(H) = aZ ; si a = 0, alors H est contenu dans Ker(p) et le résultat
découle de l’hypothèse de récurrence. Si a = 0, p(H) est un sous-groupe de Z,
donc libre, et le morphisme H → p(H) est surjectif et a pour noyau H ∩ Z n−1 ,
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