Chapitre VI. Groupes abéliens
Démonstration. Si card(X) = n, le groupe Z (X) est isomorphe au groupe Z n et on
sait qu’un produit fini d’ensembles dénombrables est dénombrable (cf. appendice).
Supposons que X et Y soient deux ensembles tels que les groupes Z (X) et Z (Y )
soient isomorphes. Si X est un ensemble fini, le résultat est un corollaire évident du
théorème (VI.2.3.(ii)). Supposons X infini, nous allons alors démontrer le lemme
suivant :
Lemme VI.2.2. Si X est un ensemble infini, alors card(Z (X) ) = card(X).
Démonstration. Posons X = {x i } i∈I et notons F(X) l’ensemble des parties finies
de X. On considère l’application f : Z (X) → F(X) qui à x associe la partie A x
définie de la façon suivante :
– Si x = 0, on pose A x = ∅.
– Si x est non nul, il s’écrit de manière unique x =
1jk n j x i j et on pose
A x = {x i 1 , . . . , x i k }.
Il est clair que f est une application surjective. D’autre part, pour toute partie
A de F(X), f −1 (A) est contenu dans Z (A) qui, d’après le lemme (VI.2.1), est
dénombrable puisque A est finie.
Mais, si f est une application surjective d’un ensemble E sur un ensemble
infini F telle que, pour tout élément x de F , f −1 (x) soit dénombrable, alors les
ensembles E et F sont équipotents (cf. appendice).
On en déduit donc que card(Z (X) ) = card(F(X)). Mais, lorsque l’ensemble X
est infini, les ensembles X et F(X) sont équipotents (cf. appendice). D’où le
lemme. Par conséquent, si les groupes Z (X) et Z (Y ) sont isomorphes, on a
card(X) = card(Z
(X) ) = card(Z
(Y ) ) = card(Y ).
Remarque VI.2.3. La démonstration ci-dessus et le TR.I.B montrent que pour tout
ensemble X, il existe un groupe abélien équipotent à X. Autrement dit, sur tout
ensemble on peut définir une structure de groupe, comme cela a été précisé à la
remarque (I.1.1.d).
Les considérations précédentes conduisent à la définition suivante :
Définition VI.2.3. Si G est un groupe abélien libre, le cardinal d’une base de G
est appelé le rang de G.
138
Démonstration. Si card(X) = n, le groupe Z (X) est isomorphe au groupe Z n et on
sait qu’un produit fini d’ensembles dénombrables est dénombrable (cf. appendice).
Supposons que X et Y soient deux ensembles tels que les groupes Z (X) et Z (Y )
soient isomorphes. Si X est un ensemble fini, le résultat est un corollaire évident du
théorème (VI.2.3.(ii)). Supposons X infini, nous allons alors démontrer le lemme
suivant :
Lemme VI.2.2. Si X est un ensemble infini, alors card(Z (X) ) = card(X).
Démonstration. Posons X = {x i } i∈I et notons F(X) l’ensemble des parties finies
de X. On considère l’application f : Z (X) → F(X) qui à x associe la partie A x
définie de la façon suivante :
– Si x = 0, on pose A x = ∅.
– Si x est non nul, il s’écrit de manière unique x =
1jk n j x i j et on pose
A x = {x i 1 , . . . , x i k }.
Il est clair que f est une application surjective. D’autre part, pour toute partie
A de F(X), f −1 (A) est contenu dans Z (A) qui, d’après le lemme (VI.2.1), est
dénombrable puisque A est finie.
Mais, si f est une application surjective d’un ensemble E sur un ensemble
infini F telle que, pour tout élément x de F , f −1 (x) soit dénombrable, alors les
ensembles E et F sont équipotents (cf. appendice).
On en déduit donc que card(Z (X) ) = card(F(X)). Mais, lorsque l’ensemble X
est infini, les ensembles X et F(X) sont équipotents (cf. appendice). D’où le
lemme. Par conséquent, si les groupes Z (X) et Z (Y ) sont isomorphes, on a
card(X) = card(Z
(X) ) = card(Z
(Y ) ) = card(Y ).
Remarque VI.2.3. La démonstration ci-dessus et le TR.I.B montrent que pour tout
ensemble X, il existe un groupe abélien équipotent à X. Autrement dit, sur tout
ensemble on peut définir une structure de groupe, comme cela a été précisé à la
remarque (I.1.1.d).
Les considérations précédentes conduisent à la définition suivante :
Définition VI.2.3. Si G est un groupe abélien libre, le cardinal d’une base de G
est appelé le rang de G.
138