Algèbre T1
L’énumération de Todd-Coxeter est basée sur les trois observations suivantes,
où les classes sont affectées de numéros en commençant par 1 = H :
TC-1 : 1 · h = 1 pour tout h ∈ H ;
TC-2 : i · r = i pour toute classe i et tout « relateur » r ∈ R ;
TC-3 : i · g = j ⇔ j · g −1 = i pour toutes classes i, j et tout g ∈ G.
On définit trois types de tables ; pour faciliter la compréhension, nous prendrons l’exemple suivant : G = {a, b}|a 4 , b 3 , abab et H = a.
– Les tables du sous-groupe : À chaque h = g
±1
i 1
. . . g
±1
i l
∈ Y , on associe une
table à une ligne et l + 1 colonnes (l est la longueur du mot). On mettra en
position j le numéro de classe de 1 · g
±1
i 1
. . . g
±1
i j
= (1 · g
±1
i 1
. . . g
±1
i j−1
) · g
±1
i j
. Sur
notre exemple, la table est donc initialisée (compte-tenu de TC-1) avec :
a
1 1
C’est un cas particulier où la table du sous-groupe est déjà complète.
– Les tables des relateurs : Sur le même principe, à chaque r = g
±1
i 1
. . . g
±1
i l
∈ R,
on associe une table à l + 1 colonnes et un nombre de lignes indéterminé
pour l’instant. On peut même présenter ces tables en les mettant bout à
bout. Sur notre exemple, en tenant compte de TC-2 pour l’initialisation,
on trouve :
a a a a b b b a b a b
1
1
1
1
On passe donc du numéro en position (i, j) à celui en position (i, j + 1) en
faisant agir l’élément de X ∪ X −1 figurant en première ligne entre les deux
colonnes j et j + 1. Les barres verticales matérialisent le début et la fin de
chaque table.
– La table de l’action sur les classes : On met en colonne les éléments de X
et en ligne les numéros des classes. En position (i, g) se trouve le numéro de
classe de i · g. Pour notre exemple :
a b
1
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