Techniques de base
Les règles de calcul ci-dessus sont utiles pour montrer qu’une propriété est fausse. Par exemple, pour montrer qu’une propriété universelle
(∀x, P (x)) est fausse, il suffit de donner un contre-exemple, c’est-à-dire
une valeur de x telle que P (x) est fausse.
Utilisation
La plupart des théorèmes et propositions du cours se présentent comme
des implications (vraies !) « P implique Q », ou comme des équivalences.
Le vocabulaire impliqué est d’usage constant et doit être bien compris.
En particulier, on notera qu’une condition nécessaire peut ne pas être
suffisante, et qu’une condition suffisante peut ne pas être nécessaire :
(§ 2.4) Pour qu’une série soit convergente, il est nécessaire, mais pas
suffisant, que son terme général tende vers 0. En d’autres termes, si le
terme général ne tend pas vers 0, alors la série ne converge pas, mais si
le terme général tend vers 0, la série peut ne pas converger.
(§ 6.2) Pour qu’une matrice soit diagonalisable, il est suffisant, mais pas
nécessaire, qu’elle soit symétrique.
À noter le lien avec le vocabulaire des ensembles. Avec A, B inclus dans
l’ensemble de référence E, si on a
A = {x|P (x)} ; B = {x | Q (x)}, alors
A ∪ B = {x | P (x) ou Q (x)} ; A ∩ B = {x|P (x) et Q (x)}
A = {x | non (P (x))}
A ⊂ B si et seulement si P (x) ⇒ Q (x).
• Ce qu’on a appelé ici « propriétés » correspond à ce qu’on appelle en
langage PASCAL les variables booléennes, dont le contenu est TRUE
(vrai) ou FALSE (faux). Les opérateurs logiques OR, AND, NOT correspondent aux opérateurs sur les propriétés vus ici. Mais attention l’instruction IF . . . THEN. . . n’est pas un opérateur logique : THEN est
suivie d’une instruction, pas d’une variable booléenne.
2.4 Quelques méthodes de raisonnement
Raisonnement par récurrence
Soit à établir qu’une propriété P (n) est vraie pour tout n ∈ N.
• On établit que P (0) est vraie (initialisation).
• On suppose qu’il existe n ∈ N tel que P (n) est vraie (hypothèse
de récurrence). On montre alors que P (n + 1) est vraie (hérédité).
• On conclut alors, d’après le principe de récurrence :
∀n ∈ N, P (n) .
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Les règles de calcul ci-dessus sont utiles pour montrer qu’une propriété est fausse. Par exemple, pour montrer qu’une propriété universelle
(∀x, P (x)) est fausse, il suffit de donner un contre-exemple, c’est-à-dire
une valeur de x telle que P (x) est fausse.
Utilisation
La plupart des théorèmes et propositions du cours se présentent comme
des implications (vraies !) « P implique Q », ou comme des équivalences.
Le vocabulaire impliqué est d’usage constant et doit être bien compris.
En particulier, on notera qu’une condition nécessaire peut ne pas être
suffisante, et qu’une condition suffisante peut ne pas être nécessaire :
(§ 2.4) Pour qu’une série soit convergente, il est nécessaire, mais pas
suffisant, que son terme général tende vers 0. En d’autres termes, si le
terme général ne tend pas vers 0, alors la série ne converge pas, mais si
le terme général tend vers 0, la série peut ne pas converger.
(§ 6.2) Pour qu’une matrice soit diagonalisable, il est suffisant, mais pas
nécessaire, qu’elle soit symétrique.
À noter le lien avec le vocabulaire des ensembles. Avec A, B inclus dans
l’ensemble de référence E, si on a
A = {x|P (x)} ; B = {x | Q (x)}, alors
A ∪ B = {x | P (x) ou Q (x)} ; A ∩ B = {x|P (x) et Q (x)}
A = {x | non (P (x))}
A ⊂ B si et seulement si P (x) ⇒ Q (x).
• Ce qu’on a appelé ici « propriétés » correspond à ce qu’on appelle en
langage PASCAL les variables booléennes, dont le contenu est TRUE
(vrai) ou FALSE (faux). Les opérateurs logiques OR, AND, NOT correspondent aux opérateurs sur les propriétés vus ici. Mais attention l’instruction IF . . . THEN. . . n’est pas un opérateur logique : THEN est
suivie d’une instruction, pas d’une variable booléenne.
2.4 Quelques méthodes de raisonnement
Raisonnement par récurrence
Soit à établir qu’une propriété P (n) est vraie pour tout n ∈ N.
• On établit que P (0) est vraie (initialisation).
• On suppose qu’il existe n ∈ N tel que P (n) est vraie (hypothèse
de récurrence). On montre alors que P (n + 1) est vraie (hérédité).
• On conclut alors, d’après le principe de récurrence :
∀n ∈ N, P (n) .
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