Introduction
2.3 Opérateurs logiques
Définitions
Soit P, Q, deux propriétés.
• La propriété P ou Q est vraie si une des deux propriétés (ou les deux)
est vraie, fausse si P et Q sont fausses.
• La propriété P et Q est vraie si les deux propriétés sont vraies (simultanément), fausse si une deux propriétés (ou les deux) est fausse.
• La propriété non P est vraie si P est fausse, fausse si P est vraie.
• La propriété « si P, alors Q » est fausse si P est vraie et Q fausse, vraie
dans tous les autres cas . On dit aussi :
« P est une condition suffisante de Q »,
« Pour Q, il suffit que P »,
« Q est une condition nécessaire de P »,
« Pour P, il faut que Q »,
« P seulement si Q »,
« P implique Q », et on note P ⇒ Q.
• La propriété « P si et seulement si Q » est vraie si P et Q ont même
valeur de vérité, fausse sinon. On dit aussi :
« P est une condition nécessaire et suffisante de Q »,
« P et Q sont équivalentes »,
« pour que Q, il faut et il suffit que P »,
et on note P ⇔ Q.
On écrit couramment en abrégé « ssi » pour « si et seulement si ».
Ces définitions sont synthétisées dans les tables de vérité :
P
Q
P ou Q
P et Q
P ⇒ Q
P ⇔ Q
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
Règles de calcul
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
non (P ou Q) et (non P) et (non Q) ;
non (P et Q)
et (non P) ou (non Q) ;
non (∃x, P (x)) et ∀x, non (P (x)) ;
non (∀x, P (x)) et ∃x, non (P (x)) ;
non (P ⇒ Q)
et Q et non (P).
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