Chapitre 3 – Calcul intégral
Éléments pour la démonstration : ∀k ∈ N ∗ , f (k + 1) f (x) f (k) ; en
intégrant sur [k, k + 1] cette double inégalité, on obtient :
(1) f (k + 1)
k+1
k
f (x) dx f (k)
On additionne de k = 1 à k = n − 1 les inégalités de gauche de (1), puis
on ajoute f (1) aux deux membres de l’inégalité obtenue. On additionne
de k = 1 à k = n les inégalités de droite de (1). En remettant dans le bon
ordre les résultats obtenus, on obtient
n+1
1
f (x) dx
n
k=1
f (k) f (1) +
n
1
f (x) dx
ce qui permet de conclure par passage à la limite.
L’intégrale de Riemann
+∞
1
1
x a dx est convergente ssi a > 1, donc la
série de Riemann
n∈N ∗
1
n a est convergente sssi a > 1.
Un autre exemple
Soit t, x tels que 0 t x 1. L’identité géométrique fournit :
1
1 + t
−
n
k=0
(−1)
k t
k
=
(−t)
n+1
1 + t
En intégrant sur l’intervalle [0, x], et en utilisant les propriétés de l’intégrale (linéarité, calculs d’intégrales, intégrale et valeur absolue), on
obtient : x
0
1
1 + t
dt −
n
k=0
(−1)
k
x
0
t
k dt =
x
0
(−t)
n+1
1 + t
dt
ln (1 + x) −
n
k=0
(−1)
k x
k+1
k + 1
x
0
t
n+1
1 + t
dt
x
0
t
n+1 dt =
x
n+2
n + 2
Avec x = 1, par passage à la limite, on obtient :
ln 2 =
+∞
k=0
(−1)
k
k + 1
105